Schwerpunktskoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Do 11.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinaten des "Zylinderhufs", der durch die Ebenen $ z=0, [mm] z=\bruch{hx}{a} (a>0,h>0,z\ge0)$ [/mm] und dem Zylinder [mm] $x^2+y^2=a^2$ [/mm] begrenzt wird. |
$ [mm] x_{s}=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{x \left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{dy}\right) dx} [/mm] $
$ [mm] y_{s}=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{\left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{y dy}\right) dx} [/mm] $
Wie berechne ich in dem Fall die Fläche und über was muss ich integrieren?
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Hallo n0000b,
> Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinaten des
> "Zylinderhufs", der durch die Ebenen [mm]z=0, z=\bruch{hx}{a} (a>0,h>0,z\ge0)[/mm]
> und dem Zylinder [mm]x^2+y^2=a^2[/mm] begrenzt wird.
> [mm]x_{s}=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{x \left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{dy}\right) dx}[/mm]
>
> [mm]y_{s}=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{\left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{y dy}\right) dx}[/mm]
>
> Wie berechne ich in dem Fall die Fläche und über was muss
> ich integrieren?
Bei dem Zylinderhuf handelt es sich doch um einen Körper.
Demnach mußt Du hier den Volumenschwerpunkt berechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Sry,
hast recht:
$ [mm] x_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{a}^{b}{x \left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\left(\integral_{h_{1}(x,y)}^{h_{2}(x,y)}{dz}\right)dy}\right) dx} [/mm] $
$ [mm] y_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{a}^{b}{\left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{y\left(\integral_{h_{1}(x,y)}^{h_{2}(x,y)}{dz}\right)dy}\right) dx} [/mm] $
Also wenn ich das jetzt versuche zeichnerisch festzuhalten, dann habe ich noch Probleme mit der Ebene [mm] $z=\bruch{hx}{a}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo n0000b,
> Sry,
>
> hast recht:
>
> [mm]x_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{a}^{b}{x \left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\left(\integral_{h_{1}(x,y)}^{h_{2}(x,y)}{dz}\right)dy}\right) dx}[/mm]
>
> [mm]y_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{a}^{b}{\left(\integral_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{y\left(\integral_{h_{1}(x,y)}^{h_{2}(x,y)}{dz}\right)dy}\right) dx}[/mm]
>
>
> Also wenn ich das jetzt versuche zeichnerisch festzuhalten,
> dann habe ich noch Probleme mit der Ebene [mm]z=\bruch{hx}{a}[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Um die Ebene [mm]z=\bruch{hx}{a}[/mm] ist es ratsam sich markante Punkte anzuschauen.
Diese sind für x=0: [mm]\left(0,y,0\right)[/mm]
Für x=a: [mm]\left(a,y,h\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also wäre das dann quasi ein Kreiskegel?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo n0000b,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Also wäre das dann quasi ein Kreiskegel?
Nein, das ist zu einfach.
Jetzt hast Du erstmal eine Gerade, zeichnest Du dazu Parallelen,
dann erhältst Du die Ebene.
Es reicht, wenn Du die Parallelen durch die Punkte (0,a,0) und (0,-a,0) zeichnest und diese dann miteinander verbindest.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
So?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo n0000b,
> So?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ja.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok,
Um das Volumen zu berechnen würde ich das Volumen eines kompletten Zylinders - das Teilstück, welches abgeschnitten wird rechnen:
$ V= [mm] \pi [/mm] r^2h-??$
Das Teilstück als Funktion: [mm] $\bruch{a}{h}=+\wurzel[2]{x^2+y^2}$ [/mm] ??
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo n0000b,
> Ok,
>
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> Um das Volumen zu berechnen würde ich das Volumen eines
> kompletten Zylinders - das Teilstück, welches abgeschnitten
> wird rechnen:
>
> [mm]V= \pi r^2h-??[/mm]
>
> Das Teilstück als Funktion:
> [mm]\bruch{a}{h}=+\wurzel[2]{x^2+y^2}[/mm] ??
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Berechnen das Volumen doch anhand der gegebenen Begrenzungsflächen.
Also mit einem Dreifachintegral.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[mm] \integral_{0}^{a}{\left(\integral_{0}^{-x^2}{\left(\integral_{0}^{\bruch{hx}{a}}{x^2+y^2 dz}\right)dy}\right) dx} [/mm] ??
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Hallo n0000b,
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{\left(\integral_{0}^{-x^2}{\left(\integral_{0}^{\bruch{hx}{a}}{x^2+y^2 dz}\right)dy}\right) dx}[/mm]
> ??
Leider stimmt das net.
Sämtliche Grenzen bekommst Du doch aus den Begrenzungsflächen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
$ [mm] \integral_{0}^{a}{\left(\integral_{-\wurzel{a^2-x^2}}^{+\wurzel{a^2-x^2}}{\left(\integral_{0}^{\bruch{hx}{a}}{x^2+y^2 dz}\right)dy}\right) dx} [/mm] $
Ist es so richtig? Wenn nicht wäre es nett, wenn du mir noch etwas auf die Sprünge hilfst.
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Hallo n0000b,
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{\left(\integral_{-\wurzel{a^2-x^2}}^{+\wurzel{a^2-x^2}}{\left(\integral_{0}^{\bruch{hx}{a}}{x^2+y^2 dz}\right)dy}\right) dx}[/mm]
Wie kommst Du auf dieses Integral,
insbesondere auf den Integranden [mm]x^{2}+y^{2}[/mm]?
>
> Ist es so richtig? Wenn nicht wäre es nett, wenn du mir
> noch etwas auf die Sprünge hilfst.
Irgendwie komme ich auf ein anderes Integral:
[mm]\integral_{0}^{h}{ \integral_{0}^{\bruch{a}{h}*z}{ \integral_{ -\wurzel{a^{2}-x^{2}}}^{ +\wurzel{a^{2}-x^{2}} }{\ dy} \ dx } \ dz}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Fr 12.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, das ist plausibel. Bei mir ist das Problem, dass wir in der Vorlesung nur sehr theoretisch an die Geschichte dran gehen und ich eher der Typ bin, der durch die praktische Anwendung lernt.
Ich habe jetzt eine Frage zu deinem Integral, warum integrierst du über dy dx dz, also über diese Reihenfolge. Man könnte ja genauso gut auch über dz dy dx integrieren. Dann würde sich aber die Grenzen ändern, oder? Und wie würden sie sich ändern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 12.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Aufgabe genau liest, denk ich, es geht um das Volumen des kleineren Teils?
das kannst du auch wie alle spitzen Koerper mit G*h/3 ausrechnen G= Halbkreis. (aber das Integrieren ist ne schoene Uebung.
Gruss leduart
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