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| Aufgabe | Ein mechanisches System bewegt sich aus dem Punkt (0/6) mit der Anfangsgeschwindigkeit y´(0)=0 gemäß der Schwingungsdifferentialgleichung y´´+4y´+3y=0
a)Bestimmen Sie diese Lösung
b)Mit welcher Frequenz würde das System schwingen, wenn man die Dämpfung ausschalten könnte?
c)Berechnen Sie den Extremwert der Gewindigkeit f(x)>0
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zu a) habe ich [mm] y=C_{1}*e^{3x}+C_{2}*e^{x}
[/mm]
bei dem Rest stehe ich noch ein bisschen auf dem Schlauch. Kann mir jemand a bestätigen und einen Ansatz zu b) geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Da hat sich wohl ein Vorzeichenfehler in der Lösung der charakteristischen Lösung eingeschlichen.
Ich habe erhalten: $y \ = \ [mm] C_1*e^{\red{-}2x}+C_2*e^{\red{-}x}$ [/mm] .
Für die ungedämpfte Schwingung entfällt in der o.g. DGL der Term mit $y'_$ und es verbleibt: $y''+3*y \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
PS: Bist Du sicher, dass Su die Aufgabenstellung (insbesondere die DGL) richtig abgeschrieben hast?
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Ich habe die richtig abgeschrieben. Warum? Gibt es damit größere Probleme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Ich vermisse in der Lösung etwas den für eine Schwingung so charakteristischen [mm] $\sin(...)$- [/mm] bzw. [mm] $\cos(...)$-Term.
[/mm]
Gruß
Loddar
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Jetzt wird es cracy. Wenn ich die DGl löse kommt ja als Nullstelle [mm] \pm \wurzel{(-3)}. [/mm] Denn Papular habe ich mir besorgt und da steht:
Ist y(x)=u(x)+j*v(x) eine komplexe Lösung,....
aber das ist ja hier nicht der Fall denn mein ergebniss ist ja nicht von x abhängig. Einen ansatz wenn das ergebniss komplex ist, habe ich auch nicht gefunden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Für komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung [mm] $\lambda_{1/2}$ [/mm] der Form [mm] $\lambda_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \rho\pm\omega*i$ [/mm] lautet der Ansatz der DGL:
$$y \ = \ [mm] e^{\rho*x}*\left[C_1*\cos(\omega*x)+C_2*\sin(\omega*x)\right]$$
[/mm]
In Deinem Falle gilt: [mm] $\lambda_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{3}*i [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \blue{\wurzel{3}}*i$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Also ich fasse mal kurz zusammen:
a) [mm] C_{1}*e^{-x}+C_{2}*e^{-3x}
[/mm]
B) [mm] C_{1}cos[\wurzel{3}x]+C_{2}sin[\wurzel{3}x]
[/mm]
da kann ich ja wohl nicht mehr machen. Dann muss ich nurnoch c) machen, wenn es bis dahin stimmt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) fehlt das Einsetzen der Anfangsbed.
bei b) fehlt die Angabe der Frequenz, in beiden Lösungen sollte eigentlich wohl t und nicht x der parameter sein.
da bei der 3 in der Dgl keine Dimension (wie etwa [mm] 1/s^2) [/mm] angegeben ist, kann man eigentlich die frequenz auch nur ohne Dim angeben.
Rest stimmt.
Gruss leduart
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Die aufgabe ist ne katastrophe.
ich dachte [mm] \omega=\wurzel{3} [/mm] wäre ist frequenz (kreisfrequenz).
und a ist mir auch nicht klar, soll ich die C´s bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 15.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.ja [mm] Kreisfr=\wurzel{3} [/mm] daraus dann Frequenz angeben!
2. ja Cs ausrechnen.
3. die Aufgaben sind kein Graus, sondern man muss auch wirklich die Aufgaben lesen und feststellen, ob man alle Angaben benutzt hat! warum sonst ist y(0) und y'(0) angegeben)
Gruss leduart
PS es machte sich besser, Freude über die Hilfe als Ärger über die Aufgabe zu verbreiten.
Wenn du kein Geld hast und jemand schenkt dir 10 sagst du auch nicht als erstes- wie schrecklich es ist nicht 20 zu haben!
Gruss leduart
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Es sollte auf keinen fall unfreundlich oder undankbar rüber kommen. Wenn es so ist tut es mir Leid. Ich habe mich nur über meine eigene Unwissenheit geärgert. Ohne deine/eure Hilfe wäre ich aufgeschmissen.
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a) f = [mm] {\bruch{2\pi}{\omega}} =\bruch {2\pi}{\wurzel{3}}=3,62..
[/mm]
b) Ist mir leider absolut unklar. Ich habe einen cos und einen sin term wie soll ich da di C´s bestimmen, wenn meine Ausgangsgleichung weder sin noch cos hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 19.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
b)Wenn man die Dämpfung ausschaltete hast du doch Acos+Bsin. Anfangsbed einsetzen gibt A und B. ich denke mal es sollen wieder die Anfbed. von a) gelten.
Die C1 UND C2 solltest du in a) bestimmen auch bestimmen .
IN b) solltest du [mm] f=\wurzel{3}/2\pi [/mm] das hattest du doch.
ob sich c) auf die ungedämpfte oder gedämpfte Schwingung bezieht ist nicht klar, berechne für beides die Geschw y' und wo die am größten ist.
Gruss leduart
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Genau das ist ja mein Problem. Ich weiss nicht wie ich die einsetzen soll, wie solll ich einen Punkt einsetzen oder ein y'?
Ich stehe total auf dem Schlauch.
Aber 1000dank schonmal für deine Mühen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 19.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo torsten
y(0)=6 6=C1+C2
y'(0)=0 0=-3C1-C2
daraus C1, C2
entsprechend : 6=Acos(0)+Bsin(0)
[mm] 0=-A\wurzel{3}sin(0)+B\wurzel{3}cos(0)
[/mm]
Gruss leduart
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Ich habe für a)
[mm] C_{1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] C_{}=\bruch{9}{2}
[/mm]
und für b)
A=6
B=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 20.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo torsten
> Ich habe für a)
> [mm]C_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]C_{}=\bruch{9}{2}[/mm]
falsch: C1+C2 [mm] \ne6 [/mm]
> und für b)
> A=6
> B=0
richtig.
Gruss leduart
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Jetzt bin ich total verwirrt!!!
warum ist den [mm] \bruch{3}{2}+\bruch{9}{2}\not=6? [/mm]
Ich glaube ich muss nochmal in die dritte Klasse :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 21.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hab die falsche Gleichung hingeschrieben.
C1+C2=6 stimmt, aber
-3C1-C2=0 stimmt nicht
gruss leduart
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*schäm* [mm] C_{1}=-3 [/mm] und [mm] C_{2}=9
[/mm]
so wenn das stimmt, mache ich mich mal an denn letzten Aufgabenteil, obwohl ich da auch noch nicht weis wie das geht. Aber vieelleicht kommt die nacht ja eine Erleuchtung.
Vielleicht kann mir schonmal jemand einen tipp geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt richtig
gute nacht leduart
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Kann mir doch bitte jemand den Ansatz für c) sagen. ich komme einfach nicht drauf
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> Kann mir doch bitte jemand den Ansatz für c) sagen. ich
> komme einfach nicht drauf
Hallo,
ich habe mir den Thread nicht durchgelesen, aber da er so lang ist, vermute ich ja, daß die DGL inzwischen gelöst wurde, Du also y(t) dastehen hast.
Also hast Du auch v(t)=y'(t) bzw. kannst das schnell bekommen.
Jetzt mußt Du doch nur noch den Extremwert v. v(t) bestimmen. 1.Abl=0 usw., wie in der Schule.
Gruß v. Angela
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So ich habe eine Extremum der Geschwindigkeit geschwindigkeit von v =-0405165 bei f(x)= 6,75
kann das sein?
hier mein weg dorthin:
ich habe $ [mm] y=-3e^{-2x}+9e^{-x} [/mm] $ abgeleitet
$ [mm] y'=6e^{-2x}-9e^{-x} [/mm] $
$ [mm] 0=6e^{-2x}-9e^{-x} [/mm] $
-> $ [mm] x=-ln\bruch{3}{2} [/mm] $
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> So ich habe eine Extremum der Geschwindigkeit
> geschwindigkeit von v =-0405165 bei f(x)= 6,75
> kann das sein?
>
>
> hier mein weg dorthin:
> ich habe [mm]y=-3e^{-2x}+9e^{-x}[/mm] abgeleitet
> [mm]y'=6e^{-2x}-9e^{-x}[/mm]
> [mm]0=6e^{-2x}-9e^{-x}[/mm]
> -> [mm]x=-ln\bruch{3}{2}[/mm]
Hallo,
gerechnet hast Du ganz herrlich... Richtig, meine ich.
Aber hast Du Dir auch überlegt, was Du gerade ausgerechnet hast?
Den Zeitpunkt, zu welchem die Geschwindigkeit =0 ist.
Denn Du hast v(t)=y'(t) gleich Null gesetzt.
Haaaaaaaaaaaalloooooooooo! Auf- wa- chen!!!
y' ist zwar die Ableitung einer Funktion.
Aber wenn Du v=y' maximieren willst, solltest Du wohl lieber v ableiten, oder???
Gruß v. Angela
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Natürlich hast du recht. Ist im Grunde die selbe rechnung nur mit [mm] y''=-12e^{-2x}+9e^{-x}
[/mm]
und es kommt x=-ln(0,75)raus.
und anhand der dritten Ableitung x eingesetzt >0 ergibt sich das es ein max ist.
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> Natürlich hast du recht. Ist im Grunde die selbe rechnung
> nur mit [mm]y''=-12e^{-2x}+9e^{-x}[/mm]
Tja, manchmal kommt's im Leben aber aufs richtige Ergebnis an und nicht darauf, daß der Schwierigkeitsgrad der Rechnung stimmt.
> und es kommt x=-ln(0,75)raus.
> und anhand der dritten Ableitung x eingesetzt >0 ergibt
> sich das es ein max ist.
>
Das Ergebnis stimmt, vorausgesetzt, es ist Deine Startfunktion y richtig.
Gruß v. Angela
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habe mich verschrieben.
[mm] y=-3e^{-3x}+9e^{-x}
[/mm]
-> [mm] x=-\bruch{ln[-\bruch{1}{3}]}{2}
[/mm]
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jetzt habe ich doch noch ne Frage. Wenn ich mein Ergebnis in den Taschenrechner eintippe bekomme ich als Ausgabe : Domain error
Ist mein ergebniss falsch?
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> jetzt habe ich doch noch ne Frage. Wenn ich mein Ergebnis
> in den Taschenrechner eintippe bekomme ich als Ausgabe :
> Domain error
> Ist mein ergebniss falsch?
Der Error kommt, weil Du eine negativen Logarithms hast. Das ist ja gar nicht definiert.
Rechne es nochmal langsam. Du hast Dich da mit den Vorzeichen verhauen.
Gruß v. Angela
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