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| Aufgabe | 2) Erste Schritte Zur Fourieranalyse
Wir untersuchen im Folgenden, wie sich eine gegebene harmonische Funktion als Summe a*cos(t)+b*sin(t) darstellen lässt.
e) Wie müssen Konstante a und b gewählt werden, damit sich als Summe die Funktion f(t)= [mm] 1*cos(t+\bruch{\pi}{4}) [/mm] ergibt? |
Bei Aufgaben a)-d) gab es keine Probleme, da die Lösungen bereits in der richtigen Form waren.
Nun bei e) hab ich folgenden Ansatz zum Erreichen der gesuchten Darstellungsform:
f(t)= [mm] cos(t+\bruch{\pi}{4}) [/mm] //passendes Additionstheorem gesucht und Werte entsprechend eingesetzt
[mm] =cos(t)*cos(\bruch{\pi}{4})-sin(t)*sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)-\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t) [/mm] |*(-1) // in gesuchte Form a*cos(t)+b*sin(t) bringen
[mm] =-\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)+\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t)
[/mm]
also [mm] a=-\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] b=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Nun steht aber in meinen Lösungen (die unsere Tutoren erarbeitet haben):
f(t)= [mm] cos(t+\bruch{\pi}{4}) [/mm]
[mm] =cos(t)*cos(\bruch{\pi}{4})-sin(t)*sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)-\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t)
[/mm]
also [mm] a=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] b=-\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Nun stellt sich mir die Frage ob meine Lösung falsch ist oder ob die Tutoren vielleicht schlichtweg den letzten Schritt vergessen haben? Eigentlich ist die Bedingung mit ihrer Antwort ja nicht erfüllt, da die Lösung ja nicht in der gewünschten Form a*cos(t)+b*sin(t)angegeben wurde?
Oder übersehe ich irgendwo einen (kleinen, dummen) Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dyskalkulant, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Tutoren haben Recht.
> 2) Erste Schritte Zur Fourieranalyse
> Wir untersuchen im Folgenden, wie sich eine gegebene
> harmonische Funktion als Summe a*cos(t)+b*sin(t) darstellen
> lässt.
>
> e) Wie müssen Konstante a und b gewählt werden, damit
> sich als Summe die Funktion f(t)= [mm]1*cos(t+\bruch{\pi}{4})[/mm]
> ergibt?
>
>
>
> Bei Aufgaben a)-d) gab es keine Probleme, da die Lösungen
> bereits in der richtigen Form waren.
>
> Nun bei e) hab ich folgenden Ansatz zum Erreichen der
> gesuchten Darstellungsform:
>
> f(t)= [mm]cos(t+\bruch{\pi}{4})[/mm] //passendes
> Additionstheorem gesucht und Werte entsprechend eingesetzt
> [mm]=cos(t)*cos(\bruch{\pi}{4})-sin(t)*sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
> [mm]=\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)-\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t)[/mm]
> |*(-1) // in gesuchte Form a*cos(t)+b*sin(t) bringen
Aber das steht doch schon in der gesuchten Form da!?
Wenn Du die rechte Seite mit (-1) multiplizierst, dann musst Du auch die linke Seite damit multiplizieren - und da stand doch die gegebene Funktion.
> [mm]=-\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)+\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t)[/mm]
>
> also [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und [mm]b=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
>
> Nun steht aber in meinen Lösungen (die unsere Tutoren
> erarbeitet haben):
>
> f(t)= [mm]cos(t+\bruch{\pi}{4})[/mm]
> [mm]=cos(t)*cos(\bruch{\pi}{4})-sin(t)*sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{2}}{2}*cos(t)-\bruch{\wurzel{2}}{2}*sin(t)[/mm]
>
>
> also [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und [mm]b=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
So ist es auch richtig. Untersuch doch mal ein paar Werte für t, dann siehst Du es auch selbst.
> Nun stellt sich mir die Frage ob meine Lösung falsch ist
> oder ob die Tutoren vielleicht schlichtweg den letzten
> Schritt vergessen haben?
Nein, Dein letzter Schritt ist vollkommen überflüssig und falsch.
> Eigentlich ist die Bedingung mit
> ihrer Antwort ja nicht erfüllt, da die Lösung ja nicht in
> der gewünschten Form a*cos(t)+b*sin(t)angegeben wurde?
Wieso nicht?
> Oder übersehe ich irgendwo einen (kleinen, dummen)
> Fehler?
Ich weiß nicht, was du da siehst, aber das Additionstheorem, das Du richtig gefunden und angewendet hast, liefert Dir doch die beiden gesuchten Werte.
Grüße
reverend
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