Selbstadjungierte Abbildung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] F:\IR^n\rightarrow\IR^n [/mm] eine selbstadjungierte Abbildung und sei [mm] \varphi [/mm] gegeben durch [mm] $$\varphi:\IR^n\times\IR^n\ni(x,y)\rightarrow\in\IR$$ [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] eine symmetrische Bilinearform ist. |
Ok, selbstadjungiert bedeutet, dass [mm]=[/mm] ist.
Und hier muss man die Definition der (symmetrischen) Bilinearform nachweisen, also
[mm]\begin{itemize}
\item $\varphi(\alpha v_1+\beta v_2,w)=\alpha\varphi(v_1,w)+\beta\varphi(v_2,w)$
\item $\varphi(v,\alpha w_1+\beta w_2)=\alpha\varphi(v,w_1)+\beta\varphi(v,w_2)$
\item $\varphi(u,v)=\varphi(v,u)$
\end{itemize}
[/mm]
Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiss, wie ich die Definition anwenden soll...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Rechne doch mal
[mm] $\varphi(u,v) [/mm] und [mm] \varphi(v,u)$
[/mm]
aus !! Was erhälst Du ? Was erhälst Du, wenn Du benutzt, dass F selbstadjungiert ist ?
FRED
|
|
|
| |
|
> Rechne doch mal
>
> [mm]\varphi(u,v) und \varphi(v,u)[/mm]
>
> aus !! Was erhälst Du ? Was erhälst Du, wenn Du benutzt,
> dass F selbstadjungiert ist ?
[mm] Also:$$\varphi(u,v)====\varphi(v,u)?$$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Also:[mm]\varphi(u,v)====\varphi(v,u)?[/mm]
Richtig, damit hast du die Symmetrie von [mm] $\varphi$ [/mm] gezeigt. Du musst noch zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] auch eine Bilinearform ist. Wenn du die Linearität von $F$ voraussetzen darfst, ist das nicht schwer, ansonsten keine Ahnung...
Robert
|
|
|
| |
|
Das war auch meine Überlegung. Ist eine selbstadjungierte Abbildung nicht immer linear?
Dann hätte ich folgendermaßen argumentiert:
[mm] \varphi(\alpha v_1+\beta v_2,w)=
[/mm]
[mm] =<\alpha F(v_1)+\beta F(v_2),w>=<\alpha F(v_1),w>+<\beta F(v_2),w>
[/mm]
[mm] =\alpha+\beta=\alpha\varphi(v_1,w)+\beta\varphi(v_2,w)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ist eine selbstadjungierte Abbildung nicht immer linear?
Das ist nicht trivial. Bedenke, dass F wirklich irgendwas ganz wildes sein könnte, dann ist überhaupt nicht klar ob es überhaupt eine Abbildung [mm] $F^\*$ [/mm] gibt, sodass [mm] $\langle F(x),y\rangle=\langle x,F^\*(y)\rangle$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in\IR^n$. [/mm] Aber wahrscheinlich habt ihr es erstmal nur für Lineare Abbildungen definiert.
|
|
|
|
