Semantische Äquivalenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Do 21.10.2004 | | Autor: | korsdal |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
grübel grad über einen umformungsschritt, den unser prof.
mal wieder slebstverständlich unternommen hat und den
ich beim nacharbeiten ganz und gar nicht verstehen kann.
also hier ist er:
p [mm] \gdw [/mm] q [mm] \equiv [/mm] ( [mm] \sim [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (p [mm] \vee \sim [/mm] q)
soweit kein problem, aber jetzt kommt er:
[mm] \equiv [/mm] (( [mm] \sim [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge \sim [/mm] q) [mm] \vee ((\sim [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] p)
hat er nun das distributivgesetz angewandt?
assoziativ geht ja nicht, weil es unterschiedliche vorzeichen sind.
seiner nächster schritt sieht dann so aus:
[mm] \equiv [/mm] ( [mm] \sim [/mm] p [mm] \wedge \sim [/mm] q) [mm] \vee [/mm] (q [mm] \wedge \sim [/mm] q) [mm] \vee (\sim [/mm] p [mm] \wedge [/mm] p) [mm] \vee [/mm] (q [mm] \wedge [/mm] p)
[mm] \equiv [/mm] (p [mm] \wedge [/mm] q) [mm] \vee (\sim [/mm] p [mm] \wedge \sim [/mm] q)
er hat also q [mm] \wedge \sim [/mm] q sowie p [mm] \wedge \sim [/mm] p
einfach weggestrichen. Ihr Wahrheitswert ist F , das weiß
ich. Nur warum kann man diese so einfach wegstreichen.
Ein F ist doch auch wichtig.
Er hat noch geschrieben, dass bei dieser Umformung die
offensichtlichen semantischen Äquivalenzen
H [mm] \wedge \sim [/mm] H [mm] \equiv [/mm] H [mm] \vee [/mm] F [mm] \equiv [/mm] H benutzt.
H steht für Ausdruck ; F für falsch
Ich versteh nicht ganz warum ein Ausdruck H zu einem
Wahrheitswert F semantisch Äquivalent sein kann.
Fragen über Fragen.
Vielen Dank schonmal, wenn ihr Euch mit meinem Problem beschäftigt.
Grüße
Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tim
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo,
> grübel grad über einen umformungsschritt, den unser
> prof.
> mal wieder slebstverständlich unternommen hat und den
> ich beim nacharbeiten ganz und gar nicht verstehen kann.
>
> also hier ist er:
> p [mm]\gdw[/mm] q [mm]\equiv[/mm] ( [mm]\sim[/mm] p [mm]\vee[/mm] q) [mm]\wedge[/mm] (p [mm]\vee \sim[/mm]
> q)
>
> soweit kein problem, aber jetzt kommt er:
>
> [mm]\equiv[/mm] (( [mm]\sim[/mm] p [mm]\vee[/mm] q) [mm]\wedge \sim[/mm] q) [mm]\vee ((\sim[/mm] p [mm]\vee[/mm]
> q) [mm]\wedge[/mm] p)
>
> hat er nun das distributivgesetz angewandt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau das Distributivgesetz hat er angewandt, zusätzlich aber auch noch das Kommutativgesetz.
Das siehst du ganz gut, wenn du eine Substitution machst:
[mm] $(\sim [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) := H$
Dann sieht die Umformung so aus (mit Zwischenschritt):
$H [mm] \wedge [/mm] (p [mm] \vee \sim [/mm] q) = H [mm] \wedge (\sim [/mm] q [mm] \vee [/mm] p)$
Das war das Kommutativgesetz.
Und jetzt noch das Distributivgesetz:
$H [mm] \wedge \sim [/mm] q [mm] \vee [/mm] H [mm] \wedge [/mm] p)$
Machst du die Substitution wieder rückgängig, hast du das vom Professor! 
> assoziativ geht ja nicht, weil es unterschiedliche
> vorzeichen sind.
>
> seiner nächster schritt sieht dann so aus:
>
> [mm]\equiv[/mm] ( [mm]\sim[/mm] p [mm]\wedge \sim[/mm] q) [mm]\vee[/mm] (q [mm]\wedge \sim[/mm] q) [mm]\vee (\sim[/mm]
> p [mm]\wedge[/mm] p) [mm]\vee[/mm] (q [mm]\wedge[/mm] p)
>
> [mm]\equiv[/mm] (p [mm]\wedge[/mm] q) [mm]\vee (\sim[/mm] p [mm]\wedge \sim[/mm] q)
>
> er hat also q [mm]\wedge \sim[/mm] q sowie p [mm]\wedge \sim[/mm] p
> einfach weggestrichen. Ihr Wahrheitswert ist F , das
> weiß
> ich. Nur warum kann man diese so einfach wegstreichen.
> Ein F ist doch auch wichtig.
>
Wenn ein $F$ in einer ODER-Verknüpfung auftaucht, dann kann man das wegstreichen. Um das einzusehen, brauchst du nur die Wahrheitstabelle zu betrachten.
Du erkennst sofort, dass das hier:
$H [mm] \vee [/mm] F$ zu $H$ vereinfacht werden kann. Bei einer ODER-Verknüpfung mit einer falschen Aussage bestimmt der andere Aussagenteil den Wahrheitswert.
Weiter Abkürzungen dieser Art:
$H [mm] \vee [/mm] W [mm] \equiv [/mm] W$
$H [mm] \wedge [/mm] W [mm] \equiv [/mm] H$
$H [mm] \wedge [/mm] F [mm] \equiv [/mm] F$
> Er hat noch geschrieben, dass bei dieser Umformung die
> offensichtlichen semantischen Äquivalenzen
> H [mm]\wedge \sim[/mm] H [mm]\equiv[/mm] H [mm]\vee[/mm] F [mm]\equiv[/mm] H benutzt.
>
Ich glaube kaum, dass er das so geschrieben hat!
Viel eher so:
$H [mm] \vee [/mm] H [mm] \wedge \sim [/mm] H [mm] \equiv [/mm] H [mm] \vee [/mm] F [mm] \equiv [/mm] H$
Kannst du das jetzt etwas besser nachvollziehen?
Sonst fragst du einfach wieder
Mit lieben Grüssen
Paul
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