Seminorm zeigen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Do 22.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Eine meßbare Funktion [mm] f: X \to \mathbb R [/mm] heißt essentiell beschränkt, wenn eine Konstante [mm] C \ge 0 \[/mm] existiert mit
[mm] \mu ( \{ x \in \mathbb R | \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 [/mm].
Zeigen Sie:
(i) Durch
[mm] \| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \} [/mm]
wird eine Seminorm auf [mm] \mathcal L^{ \infty } ( X, \mathbb R ) = \{ f : X \to \mathbb R | f \ ist \ essentiell \ beschränkt \} [/mm] definiert.
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Guten Abend zusammen!
Ich habe einige Aufgaben neben der Vorlesung veruscht zu bearbeiten, oder wie hier speziell versuche ich die Lösunge nachzuvollziehen.
Hier habe ich eine Lösung, aber steige da nicht wirklich durch, und frage mich gleichzeitig, ob das überhaupt richtig ist... Es wäre sehr nett ,wenn sich jemand das durchlesen würde und ggf. Komentare dazu macht...
Danke schön!
Lösungsvorschlag:
Zu zeigen ist ja, dass [mm] \| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \} [/mm] eine Seminorm ist.
Nach meiner Vorlesung muss ich die folgenden drei Sachen prüfen!
(i) [mm] \| f \parallel _{\infty} \ge 0 [/mm]
(ii) [mm] \| \lambda f \parallel _{\infty} ={ \left| \lambda \right| } \| f \parallel _{\infty} [/mm]
(iii) [mm] \| [/mm] f + g [mm] \parallel _{\infty} \le \| [/mm] f [mm] \parallel _{\infty} \| [/mm] g [mm] \parallel _{\infty } [/mm] [/mm]
So, nun zum Lösungsvorschlag:
(i)
[mm] \| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \} = \inf \{ C > 0 | \mu ( | f |^{-1} ( (C, \infty ] ) = 0 \} \ge 0 [/mm]
Reicht das wenn man das einfach so schreibt?
(ii) Es sei [mm] f \in \mathcal L^{ \infty} , \ \lambda \in \mathbb R [/mm].
Es gilt [mm] [mm] f^{-1} [/mm] (C, [mm] \infty [/mm] ] = ( [mm] \lambda f^{-1} [/mm] ) ( [mm] \lambda [/mm] C, [mm] \infty [/mm] ].
Somit folgt [mm] \| \lambda f \parallel _{\infty} ={ \left| \lambda \right| } \| f \parallel _{\infty} [/mm]
Dies kann ich leider garnicht nachvollziehen, warum kann man das [mm] \lambda [/mm] einfach so reinnehmen und vorallem ist das richtig ?????
(iii)
Es seien [mm] f, g \mathcal L^{ \infty} [/mm]. Die Mengen [mm] N_1 := |f|^{-1} ( ( \| f\parallel_{\infty} , \inftym ] ) [/mm] und [mm] N_2 := | g |^{-1} ( ( \| g \parallel _{ \infty} , \infty ] ) [/mm] sind Nullmengen .
Folglich gilt [mm] \left| f + g \right| \le \left| f \right| + \left| g \right| \le \| f \parallel _{\infty} + \| g \parallel _{\infty} [/mm] außerhalb von [mm] N_1 \cup N_2 [/mm].
Aus der Definition von [mm] \| f \parallel _{\infty} [/mm] folgt [mm] \| f + g \parallel _{\infty} \le \| f \parallel _{\infty} + \| g \parallel_{\infty} [/mm].
Warum sind [mm] N_1, N_2 [/mm] Nullmengen und warum argumentiert man hier so?
Ich bin mir nicht sicher ob das alles so richtig ist, weil ich es einfach nicht verstehe :-(.... Ich hoffe, jemand kann mir diese LÖsung näher bringen, falls sie überhaupt richtig ist..
Vielen Dank!
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Eine meßbare Funktion [mm]f: X \to \mathbb R[/mm] heißt essentiell
> beschränkt, wenn eine Konstante [mm]C \ge 0 \[/mm] existiert mit
>
> [mm]\mu ( \{ x \in \mathbb R | \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 [/mm].
>
> Zeigen Sie:
>
> (i) Durch
> [mm]\| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X \text{ mit }\left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \}[/mm]
>
> wird eine Seminorm auf [mm]\mathcal L^{ \infty } ( X, \mathbb R ) = \{ f : X \to \mathbb R | f \ ist \ essentiell \ beschränkt \}[/mm]
> definiert.
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> Guten Abend zusammen!
>
> Ich habe einige Aufgaben neben der Vorlesung veruscht zu
> bearbeiten, oder wie hier speziell versuche ich die Lösunge
> nachzuvollziehen.
> Hier habe ich eine Lösung, aber steige da nicht wirklich
> durch, und frage mich gleichzeitig, ob das überhaupt
> richtig ist... Es wäre sehr nett ,wenn sich jemand das
> durchlesen würde und ggf. Komentare dazu macht...
>
> Danke schön!
>
> Lösungsvorschlag:
>
> Zu zeigen ist ja, dass [mm]\| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \}[/mm]
> eine Seminorm ist.
>
> Nach meiner Vorlesung muss ich die folgenden drei Sachen
> prüfen!
> (i) [mm]\| f \parallel _{\infty} \ge 0[/mm]
>
> (ii) [mm]\| \lambda f \parallel _{\infty} ={ \left| \lambda \right| } \| f \parallel _{\infty}[/mm]
>
> (iii) [mm]\|[/mm] f + g [mm]\parallel _{\infty} \le \|[/mm] f [mm]\parallel _{\infty} \|[/mm]
> g [mm]\parallel _{\infty }[/mm][/mm]
>
>
> So, nun zum Lösungsvorschlag:
>
> (i)
> [mm]\| f \parallel _{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \} = \inf \{ C > 0 | \mu ( | f |^{-1} ( (C, \infty ] ) = 0 \} \ge 0[/mm]
>
>
> Reicht das wenn man das einfach so schreibt?
Ich würde nach dazuschreiben, dass ja die Menge, deren Infimum du berechnest, nur positive Elemente hat.
> (ii) Es sei [mm]f \in \mathcal L^{ \infty} , \ \lambda \in \mathbb R [/mm].
> Es gilt [mm][mm]f^{-1}[/mm] (C, [mm]\infty[/mm] ] = ( [mm]\lambda f^{-1}[/mm] ) ( [mm]\lambda[/mm] C,[mm]\infty[/mm] ].
> Somit folgt [mm]\| \lambda f \parallel _{\infty} ={ \left| \lambda \right| } \| f \parallel _{\infty}[/mm]
>
> Dies kann ich leider garnicht nachvollziehen, warum kann man das [mm]\lambda[/mm] einfach so reinnehmen und vorallem ist das richtig ?????
Das ist blöd geschrieben. Geh besser von der ursprünglichen Definition aus:
[mm]\| f \|_{ \infty} = \inf \{ C > 0 | \mu ( \{ x \in X \text{ mit }\left| f(x) \right| > C \} ) = 0 \} [/mm]
So, wenn wir uns ein C herausgreifen, dann geht es doch um das Maß der Menge [mm]\{ x \in X \text{ mit }\left| f(x) \right| > C \} = f^{-1}((C,\infty])[/mm]. Für ein gegebenes [mm]\lambda[/mm] hat diese Menge die äquivalente Darstellung [mm]\{ x \in X \text{ mit }\left|\lambda f(x) \right| > |\lambda| C \} = (\lambda f)^{-1}((|\lambda| C,\infty])[/mm]. Mit anderen Worten:
[mm]\|\lambda f \|_{ \infty} = \inf \{|\lambda| C > 0 | \mu ( \{ x \in X mit \left| \lambda f(x) \right| > |\lambda |C \} ) = 0 \} = |\lambda| \| f \|_{ \infty}[/mm].
> (iii) Es seien [mm]f, g \mathcal L^{ \infty} [/mm]. Die Mengen [mm]N_1 := |f|^{-1} ( ( \| f\parallel_{\infty} , \inftym ] )[/mm] und [mm]N_2 := | g |^{-1} ( ( \| g \parallel _{ \infty} , \infty ] )[/mm] sind Nullmengen .
> Folglich gilt [mm]\left| f + g \right| \le \left| f \right| + \left| g \right| \le \| f \parallel _{\infty} + \| g > \parallel _{\infty}[/mm] außerhalb von [mm]N_1 \cup N_2 [/mm].
> Aus der Definition von [mm]\| f \parallel _{\infty}[/mm] folgt [mm]\| f + g \parallel _{\infty} \le \| f \parallel _{\infty} + \| g \parallel_{\infty} [/mm].
> Warum sind [mm]N_1, N_2[/mm] Nullmengen und warum argumentiert man hier so?
Aus der Definition von [mm]\|f\|_\infty[/mm] ergibt sich doch, dass für jedes [mm]C>\|f\|_\infty[/mm] die Menge [mm]\{ x \in X \text{ mit }\left| f(x) \right| > C \} = f^{-1}((C,\infty])[/mm] eine Nullmenge ist. Wenn ich jetzt statt C das Infimum [mm]\|f\|_\infty[/mm] nehme, ist auch [mm]\{ x \in X \text{ mit }\left| f(x) \right| > \|f\|_\infty\} = f^{-1}((\|f\|_\infty,\infty])[/mm] eine Nullmenge.
Jetzt ist außerhalb von [mm]N_1[/mm]: [mm]|f|\le \|f\|_\infty[/mm], und außerhalb von [mm]N_2[/mm]: [mm]|g|\le \|g\|_\infty[/mm]. Das ist der erste Schritt.
Der zweite Schritt ist [mm]\|f+g\|_\infty[/mm] und [mm]|f+g|[/mm] in Beziehung zu setzen, das passiert über die Definition. Denn mit der Abkürzung [mm]C_1 := \| f \|_{\infty} + \| g \|_{\infty}[/mm] haben wir, dass [mm]|f+g|\le C_1[/mm] außerhalb der Nullmenge [mm]N_1 \cup N_2 [/mm]. Folglich ist [mm]|f+g|>C_1[/mm] nur auf einer Teilmenge von [mm]N_1 \cup N_2 [/mm]. Daraus folgt [mm]\|f+g\|_\infty\le C_1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 22.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Danke vielmals!! Endlich habe ich es verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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