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Senkrechte Gerade zu Ebene: Rückfrage, Idee, Tipp, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 19.05.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte

[mm] P_{1}=(2,-4,2) [/mm] ; [mm] P_{2}=(4,0,2) [/mm] ; [mm] P_{3}=(6,2,-1) [/mm]

a) Gebe eine Ebene in Parameterform an, welche die o.g. Punkte enthält
b) Bestimme den Abstand der Ebene zum Punkt P=(3,5,-12)
c) Gebe die Gerade an, die senkrecht zu Ebene und durch den Punkt aus b) verläuft. In welchem Punkt schneidet diese Gerade die Ebene?

Hallo,

hier einmal meine bisherigen Lösungen:

a)

E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{4 \\ 6 \\ -3} [/mm]

b)

d(P,E) = 7

c)

Hier habe ich allerdings noch keinen wirklichen Ansatz gefunden - könnt ihr mir bei diesem Aufgabenteil ein wenig auf die Sprünge helfen?

Sind die Lösungen zu a) und b) so in Ordnung?


Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

        
Bezug
Senkrechte Gerade zu Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Sa 19.05.2018
Autor: M.Rex

Hallo

> Gegeben sind die Punkte

>

> [mm]P_{1}=(2,-4,2)[/mm] ; [mm]P_{2}=(4,0,2)[/mm] ; [mm]P_{3}=(6,2,-1)[/mm]

>

> a) Gebe eine Ebene in Parameterform an, welche die o.g.
> Punkte enthält
> b) Bestimme den Abstand der Ebene zum Punkt P=(3,5,-12)
> c) Gebe die Gerade an, die senkrecht zu Ebene und durch
> den Punkt aus b) verläuft. In welchem Punkt schneidet
> diese Gerade die Ebene?
> Hallo,

>

> hier einmal meine bisherigen Lösungen:

>

> a)

>

> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -4 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{4 \\ 6 \\ -3}[/mm]

>

> b)

>

> d(P,E) = 7

>

Das sieht soweit gut aus.

> c)

>

> Hier habe ich allerdings noch keinen wirklichen Ansatz
> gefunden - könnt ihr mir bei diesem Aufgabenteil ein wenig
> auf die Sprünge helfen?

>

> Sind die Lösungen zu a) und b) so in Ordnung?

In Aufgabenteil b) müsstest du ja einen Normalenvektor bestimmt haben, um den Abstand zu bestimmen, wenn nicht, ist das aj auch schnell gemacht, ein möglicher Normalenvektor zur Ebene E wäre ja [mm] \vec{n}=\vektor{-12\\6\\-4}. [/mm]

Dieser Normalenvektor wird der Richtungsvektor der Geraden, der Stützvektor ist durch den Ortsvektor von P gegeben.

Also bekommst du:
[mm] g:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{n}=\vektor{3\\5\\-12}+\lambda\cdor\vektor{-12\\6\\-4} [/mm]

Nun musst du noch den Schnittpunkt von g und E bestimmen.

>
>

> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

Marius

Bezug
                
Bezug
Senkrechte Gerade zu Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 So 20.05.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die schnelle Antwort!

Um den Schnittpunkt zu bestimmen setzte ich doch dann die beiden Parameterformen gleich und stelle ein LGS auf:

E: $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 2} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 0} [/mm] $  + $ [mm] \mu \vektor{4 \\ 6 \\ -3} [/mm] $ und
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\5\\-12}+\lambda\cdor\vektor{-12\\6\\-4} [/mm] $

I) [mm] 2+2\lambda+4\mu [/mm] = [mm] 3-12\lambda [/mm]
II) [mm] -4+4\lambda+6\mu [/mm] = [mm] 5+6\lambda [/mm]
III) [mm] 2-3\mu [/mm] = [mm] -12-4\lambda [/mm]

Das ganze dann sortiert:

I) -1= [mm] -14\lambda-4\mu [/mm]
II) -9= [mm] 2\lambda-6\mu [/mm]
III) 14 = [mm] -4\lambda+3\mu [/mm]

Als nächstes würde ich dann die Werte für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] bestimmen und diese in die Ebenengleichung einsetzten - das ergibt dann den Schnittpunkt.

Ich finde aber irgendwie keinen vernünftigen "Startschritt" zum lösen des LGS - könnt ihr mir da nochmals helfen?

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Senkrechte Gerade zu Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 So 20.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> danke für die schnelle Antwort!

>

> Um den Schnittpunkt zu bestimmen setzte ich doch dann die
> beiden Parameterformen gleich und stelle ein LGS auf:

>

> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -4 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{4 \\ 6 \\ -3}[/mm] und

>

> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\5\\-12}+\lambda\cdor\vektor{-12\\6\\-4}[/mm]

>

Es ist dir hier ein grober Schnitzer unterlaufen: der Parameter deiner Geradengleichung kommt auch in der Ebenengleichung vor. Den musst du umbenennen, so dass du ein 3x3-LGS erhältst. Das mit dem Einsetzen ist dann wieder die richtige Idee. Oftmls kann man beim Lösen des LGS so vorgehen, dass man zuerst den Parameter der Geradengleichung erhält. Dann muss man - so man sich sicher ist - nicht weiterrechnen sondern setzt diesen in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

Einen weiteren Tipp hätte ich noch: man kann hier die Richtungsvektoren 'kürzen' (also jeweils den Faktor 2 herausziehen). Dann bekommt man im LGS kleinere Koeffizienten. 


Gruß, Diophant

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