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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen erster Ordnung:
a)...
b)...
c) tx' - x - [mm] x^{3} [/mm] = 0 |
Hallo
Ich habe gerade diese Aufgabe gelöst, jedoch stecke ich gegen den Schluss fest...
Ich habe den Term (-x [mm] -x^{3}) [/mm] auf die linke Seite genommen, separiert und auf beiden Seiten dann integriert.
Das gab mir dann ein paar Integrale, welche durch Partialbruchzerlegung und später durch Substitution gelöst werden mussten. So weit so gut.
Auf jeden Fall steht da plötzlich:
ln|x| + [mm] \bruch{1}{2}ln|x^{2} [/mm] + 1| = ln|t| + c
Mit der Exponentialfunktion und zusammengefasst gibt mir das (hoffentlich richtig):
[mm] 2x(x^{2} [/mm] + 1) = 2tc (ich habe hier [mm] e^{c} [/mm] wieder als c geschrieben.. bleibt ja ne Konstante)
[mm] \Rightarrow x^{3} [/mm] + x = tc
Spätestens hier habe ich ein Problem..
Wenn ich nach x auflösen will, geht das nicht (oder ich übersehe etwas..).
Also habe ich mir gedacht.. ehm, den Ausdruck [mm] (x^{3} [/mm] + x) habe ich ja schon mal gesehen... richtig! tx' = x + [mm] x^{3}
[/mm]
Aber das hilft mir ja auch nicht.. denn wenn tx' = tc, dann wäre x' = c [mm] \Rightarrow [/mm] x = tc
Wo liegt mein Fehler? Vielleicht schon beim Umformen?
Liebe Grüsse und vielen Dank!
Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen erster
> Ordnung:
>
> a)...
> b)...
> c) tx' - x - [mm]x^{3}[/mm] = 0
> Hallo
>
> Ich habe gerade diese Aufgabe gelöst, jedoch stecke ich
> gegen den Schluss fest...
>
> Ich habe den Term (-x [mm]-x^{3})[/mm] auf die linke Seite genommen,
> separiert und auf beiden Seiten dann integriert.
> Das gab mir dann ein paar Integrale, welche durch
> Partialbruchzerlegung und später durch Substitution
> gelöst werden mussten. So weit so gut.
>
> Auf jeden Fall steht da plötzlich:
>
> ln|x| + [mm]\bruch{1}{2}ln|x^{2}[/mm] + 1| = ln|t| + c
ich hab ^ dort ein minus stehen
>
> Mit der Exponentialfunktion und zusammengefasst gibt mir
> das (hoffentlich richtig):
[mm] ln|x|+0,5*ln|x^2+1|=ln|t|+c [/mm] |*2
=> [mm] 2ln|x|+ln|x^2+1|=2ln|t|+c
[/mm]
=> [mm] ln(x^2)+ln(x^2+1)=ln t^2+c
[/mm]
=> [mm] ln(x^2*(x^2+1))=ln t^2+c
[/mm]
=> [mm] x^2*(x^2+1)=t^2*c
[/mm]
mit dem minus würde das leider etwas hässlicher werden
>
> [mm]2x(x^{2}[/mm] + 1) = 2tc (ich habe hier [mm]e^{c}[/mm] wieder als c
> geschrieben.. bleibt ja ne Konstante)
>
> [mm]\Rightarrow x^{3}[/mm] + x = tc
>
> Spätestens hier habe ich ein Problem..
>
> Wenn ich nach x auflösen will, geht das nicht (oder ich
> übersehe etwas..).
>
> Also habe ich mir gedacht.. ehm, den Ausdruck [mm](x^{3}[/mm] + x)
> habe ich ja schon mal gesehen... richtig! tx' = x + [mm]x^{3}[/mm]
> Aber das hilft mir ja auch nicht.. denn wenn tx' = tc,
> dann wäre x' = c [mm]\Rightarrow[/mm] x = tc
>
> Wo liegt mein Fehler? Vielleicht schon beim Umformen?
>
> Liebe Grüsse und vielen Dank!
> Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen erster
> Ordnung:
>
> a)...
> b)...
> c) tx' - x - [mm]x^{3}[/mm] = 0
> Hallo
>
> Ich habe gerade diese Aufgabe gelöst, jedoch stecke ich
> gegen den Schluss fest...
>
> Ich habe den Term (-x [mm]-x^{3})[/mm] auf die linke Seite genommen,
> separiert und auf beiden Seiten dann integriert.
> Das gab mir dann ein paar Integrale, welche durch
> Partialbruchzerlegung und später durch Substitution
> gelöst werden mussten. So weit so gut.
>
> Auf jeden Fall steht da plötzlich:
>
> ln|x| + [mm]\bruch{1}{2}ln|x^{2}[/mm] + 1| = ln|t| + c
Bei mir steht da
ln|x| - [mm]\bruch{1}{2}ln|x^{2}[/mm] + 1| = ln|t| + c
(ohne Gewähr)
FRED
>
> Mit der Exponentialfunktion und zusammengefasst gibt mir
> das (hoffentlich richtig):
>
> [mm]2x(x^{2}[/mm] + 1) = 2tc (ich habe hier [mm]e^{c}[/mm] wieder als c
> geschrieben.. bleibt ja ne Konstante)
>
> [mm]\Rightarrow x^{3}[/mm] + x = tc
>
> Spätestens hier habe ich ein Problem..
>
> Wenn ich nach x auflösen will, geht das nicht (oder ich
> übersehe etwas..).
>
> Also habe ich mir gedacht.. ehm, den Ausdruck [mm](x^{3}[/mm] + x)
> habe ich ja schon mal gesehen... richtig! tx' = x + [mm]x^{3}[/mm]
> Aber das hilft mir ja auch nicht.. denn wenn tx' = tc,
> dann wäre x' = c [mm]\Rightarrow[/mm] x = tc
>
> Wo liegt mein Fehler? Vielleicht schon beim Umformen?
>
> Liebe Grüsse und vielen Dank!
> Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
> Bei mir steht da
>
> ln|x| - [mm]\bruch{1}{2}ln|x^{2}[/mm] + 1| = ln|t| + c
>
> (ohne Gewähr)
>
> FRED
>
Natürlich ist da ein - ... Ich hab die beiden Integrale hintereinander einzeln gelöst und beim Zusammensetzen das - in ein + verwandelt.. danke für den Hinweis euch beiden :)
Ich versuche jetzt, die Aufgabe zu Ende zu führen, mal schauen ob ich nochmals nachfragen muss..
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Also, ich habe jetzt eine Lösung gekriegt und, da ihr ja anscheinend auch mitgerechnet habe, wollte ich sie korrigieren lassen ;)
MIt diesem Minus erhalte ich nach der Anwendung der Exponentialfunktion und der Zusammenfassung:
[mm] \bruch{x^{2}}{x^{2} + 1} [/mm] = [mm] t^{2}c \Rightarrow [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{x^{2} + 1} [/mm] = [mm] t^{2}c [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \wurzel{\bruch{1}{1 - t^{2}c} - 1}
[/mm]
Wie sieht das aus? :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Also, ich habe jetzt eine Lösung gekriegt und, da ihr ja
> anscheinend auch mitgerechnet habe, wollte ich sie
> korrigieren lassen ;)
>
> MIt diesem Minus erhalte ich nach der Anwendung der
> Exponentialfunktion und der Zusammenfassung:
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2} + 1}[/mm] = [mm]t^{2}c \Rightarrow[/mm] 1 -
> [mm]\bruch{1}{x^{2} + 1}[/mm] = [mm]t^{2}c[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\wurzel{\bruch{1}{1 - t^{2}c} - 1}[/mm]
>
>
> Wie sieht das aus? :)
Gut, bis auf x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{1 - t^{2}c} - 1}[/mm]
FRED
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> Grüsse, Amaro
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