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| Aufgabe | | Ein Seriensystem besteht aus 8 Komponenten. Die Lebensdauern der Komponenten folgen unabhängigen Exponentialverteilungen mit Mittelwert 100 Stunden. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte der Lebensdauer des Systems. Außerdem den Mittelwert und Median. |
Tag!
Ich bin mir bei meiner Lösung nicht sicher und wollte nachfragen ob das so stimmen kann.
Die Verteilungsfunktion für eine Komponente ist mal [mm] F_{xi}(x) = 1 - e^{-100*x}[/mm]. Die klassische Exponentialverteilung also...
Für das ganze System ist die Lebensdauer dann [mm] F_{x}(x) = W(X \le x) = 1 - W(X > x) [/mm] und weil das ganze ja ne Serienschaltung ist, habe ich gedacht muss man mit dem Minimum arbeiten und das dann multiplizieren - wir haben das zumindest so mal in der Vorlesung behandelt. Wofür das Minimum da genau gut ist, weiß ich nicht bzw. wie man drauf kommt. Ich wäre dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.
Das ergibt dann:
[mm] F_{x}(x) = W(X \le x) = 1 - W(X > x) = 1 - W(min\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8\}) = 1 - W(X_1 > x)*W(X_2 > x) *W(X_3 > x)*...*W(X_8 > x) = 1 - e^{-800*x} [/mm]
Kann das so stimmen, zumindest mal für die Verteilungsfunktion? Hat jemand vielleicht irgend einen Link wo das mit dem Seriensystem oder Parallelsystem in Kombination mit Wahrscheinlichkeiten und Minimum erklärt ist?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mi 24.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wofür das Minimum da genau gut ist,
> weiß ich nicht bzw. wie man drauf kommt. Ich wäre
> dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.
Stell dir eine Kette vor. Deren Reissfestigkeit wird vom schwaechsten Glied bestimmt. Deswegen ist die Verteilung des Minimus von Interesse. Aehnlich ist es in deiner Fragestellung.
>
> Das ergibt dann:
>
> [mm]F_{x}(x) = W(X \le x) = 1 - W(X > x) = 1 - W(min\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8\}) = 1 - W(X_1 > x)*W(X_2 > x) *W(X_3 > x)*...*W(X_8 > x) = 1 - e^{-800*x}[/mm]
>
> Kann das so stimmen, zumindest mal für die
> Verteilungsfunktion?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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OK, und der Mittelwert ist dann gleich dem Erwartungswert (warum eigentlich?) also 800 und der Median ist [mm] \bruch{ln2}{800} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:54 Mi 24.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> OK, und der Mittelwert ist dann gleich dem Erwartungswert
Das ergibt keinen Sinn.
> (warum eigentlich?)
Was willst du hier wissen?
> also 800 und der Median ist
> [mm]\bruch{ln2}{800}[/mm] ?
vg Luis
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Achso, ich glaube jetzt verstehe ich es. Der Mittelwert (gesucht laut Angabe) ist 800, der Erwartungswert jedoch 1/800. Das ist hier der Zusammenhang, insofern ich das jetzt richtig verstanden habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ich verstehe den Begriff Mittelwert hier so, dass mit ihm der Erwartungswert gemeint ist. Er lautet [mm] $\bruch{100}8$.
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:20 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Habe leider übersehen, dass es sich hierbei um einen Folgefehler handelt. Sorry für diese Korrekturmitteilung.
> > also 800 und der Median ist
> > [mm]\bruch{ln2}{800}[/mm] ?
>
Bei einem Mittelwert von 800 Stunden wäre das System ja im Mittel langlebiger als seine Komponenten! Und ein Median von [mm] \bruch{ln2}{800} [/mm] (Stunden), was ca. 3 Sekunden entspricht, wäre wohl ein bisschen wenig bei einer mittleren Lebensdauer der Komponenten von 100 Stunden.
Tatsächlich ist die Zufallsgröße [mm] $X=min(X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] exponentialverteilt zum Parameter [mm] $\bruch8{100}$. [/mm] Somit lautet ihr Erwartungswert [mm] $\bruch{100}8$ [/mm] und ihr Median [mm] $\ln2*\bruch{100}8$.
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:12 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > [mm]F_{x}(x) = W(X \le x) = 1 - W(X > x) = 1 - W(min\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8\}) = 1 - W(X_1 > x)*W(X_2 > x) *W(X_3 > x)*...*W(X_8 > x) = 1 - e^{-800*x}[/mm]
> >
> > Kann das so stimmen, zumindest mal für die
> > Verteilungsfunktion?
>
>
Wenn die [mm] $X_i$ [/mm] exponential-verteilt zum Parameter [mm] $\beta$ [/mm] sind, so gilt [mm] $100=EX_i=\bruch1\beta$, [/mm] also [mm] $\beta=\bruch1{100}$. [/mm] Damit erhält man in obiger Rechnung [mm] $1-e^{-\bruch8{100}x}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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