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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mo 24.08.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Wahr oder falsch:
1) [mm] \pmat{1&0\\0&-1} \in M_{22} (\IC) [/mm] ist Matrixdarstellung
- einer Sesquilinearform auf [mm] \IC^2
[/mm]
- einer symmetrischen Bilinearform auf [mm] \IC^2
[/mm]
2) [mm] \pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2} \in M_{33} (\IC) [/mm] ist Matrixdarstellung
- einer Sesquilinearform auf [mm] \IC^3
[/mm]
3) Sei [mm] A \in M_{nn}(\IC) [/mm]. Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A.
- Wenn A^*=-A, dann ist [mm] i\lambda [/mm] eine reelle Zahl.
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe die Lösung zu diesen Aufgaben in meinem Skript stehen, wundere mich aber:
Zu 1) bei der 1.Matrix steht bei beiden Aussagen "wahr",
Zu 2) bei der 2.Matrix steht bei der Aussage "falsch".
Bei 3) sieht die Erklärung so aus:
Sei [mm] \lambda = a+ib [/mm] mit a,b, [mm] \in \IR, [/mm] v=Eigenvektor, dann gilt:
[mm] \lambda=<\lambda v,v>=====-\overline\lambda [/mm]
Also [mm] \lambda=a+ib=-a+ib=-\overline\lambda [/mm], also a=-a, also a=0 und [mm] i\lambda=-b.
[/mm]
Wieso wird für den Beweis das Skalarprodukt aus dem Eigenvektor (multipliziert mit dem Eigenwert) gebildet ?
Ich habe ein wenig Probleme mit Skalarprodukt/Sesquilinearform/Bilinearform.
Sind diese Überlegungen richtig:
Skalarprodukt auf [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] : positiv definite, symmetrische Bilinearform, Matrixdarstellung symm., nur positive reelleEigenwerte
Sesquilinearform: symmetrische Bilinearform auf [mm] \IC, [/mm] Matrixdarstellung Hermitesch, reelle positive und negative Eigenwerte
Bilinearform auf [mm] \IR: [/mm] muss nicht symmetrisch sein
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 24.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wahr oder falsch:
> 1) [mm]\pmat{1&0\\0&-1} \in M_{22} (\IC)[/mm] ist
> Matrixdarstellung
> - einer Sesquilinearform auf [mm]\IC^2[/mm]
> - einer symmetrischen Bilinearform auf [mm]\IC^2[/mm]
>
> 2) [mm]\pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2} \in M_{33} (\IC)[/mm] ist
> Matrixdarstellung
> - einer Sesquilinearform auf [mm]\IC^3[/mm]
>
> 3) Sei [mm]A \in M_{nn}(\IC) [/mm]. Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> A.
> - Wenn A^*=-A, dann ist [mm]i\lambda[/mm] eine reelle Zahl.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe die Lösung zu diesen Aufgaben in meinem Skript
> stehen, wundere mich aber:
> Zu 1) bei der 1.Matrix steht bei beiden Aussagen "wahr",
> Zu 2) bei der 2.Matrix steht bei der Aussage "falsch".
>
> Bei 3) sieht die Erklärung so aus:
> Sei [mm]\lambda = a+ib[/mm] mit a,b, [mm]\in \IR,[/mm] v=Eigenvektor, dann
> gilt:
> [mm]\lambda=<\lambda v,v>=====-\overline\lambda[/mm]
>
> Also [mm]\lambda=a+ib=-a+ib=-\overline\lambda [/mm], also a=-a, also
> a=0 und [mm]i\lambda=-b.[/mm]
>
> Wieso wird für den Beweis das Skalarprodukt aus dem
> Eigenvektor (multipliziert mit dem Eigenwert) gebildet ?
>
> Ich habe ein wenig Probleme mit
> Skalarprodukt/Sesquilinearform/Bilinearform.
> Sind diese Überlegungen richtig:
> Skalarprodukt auf [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] : positiv definite,
> symmetrische Bilinearform, Matrixdarstellung symm., nur
> positive reelleEigenwerte
> Sesquilinearform: symmetrische Bilinearform auf [mm]\IC,[/mm]
Nein, eine ![[]](/images/popup.gif) Sesqilinearform kann nicht symmetrisch sein, sie ist "hermitesch"
Eine Sesquilinearform (die nur auf [mm] \IC [/mm] Sinn macht) hat folgende Eingeschaften:
[mm] =\overline{\lambda}*
[/mm]
und [mm] <\lambda*v;w>=\lambda*
[/mm]
Das heisst, aus "einer Seite" kann man wie bei der Bilinearform ein Skalar [mm] \lambda\in\IC [/mm] "vorziehen", bei der "anderen Seite" dann das kompelx Konjugierte [mm] \overline{\lambda} [/mm] .
Ein Skalarprodukt ist durch einige Eigenschaften definiert.
> Matrixdarstellung Hermitesch, reelle positive und negative
> Eigenwerte
> Bilinearform auf [mm]\IR:[/mm] muss nicht symmetrisch sein
>
> Danke, Susanne.
>
>
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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> Hallo
>
> > Wahr oder falsch:
> > 1) [mm]\pmat{1&0\\0&-1} \in M_{22} (\IC)[/mm] ist
> > Matrixdarstellung
> > - einer Sesquilinearform auf [mm]\IC^2[/mm]
> > - einer symmetrischen Bilinearform auf [mm]\IC^2[/mm]
> >
> > 2) [mm]\pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2} \in M_{33} (\IC)[/mm] ist
> > Matrixdarstellung
> > - einer Sesquilinearform auf [mm]\IC^3[/mm]
> >
> > 3) Sei [mm]A \in M_{nn}(\IC) [/mm]. Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> > A.
> > - Wenn A^*=-A, dann ist [mm]i\lambda[/mm] eine reelle Zahl.
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Hallo,
> > ich habe die Lösung zu diesen Aufgaben in meinem
> Skript
> > stehen, wundere mich aber:
> > Zu 1) bei der 1.Matrix steht bei beiden Aussagen
> "wahr",
> > Zu 2) bei der 2.Matrix steht bei der Aussage "falsch".
> >
> > Bei 3) sieht die Erklärung so aus:
> > Sei [mm]\lambda = a+ib[/mm] mit a,b, [mm]\in \IR,[/mm] v=Eigenvektor,
> dann
> > gilt:
> > [mm]\lambda=<\lambda v,v>=====-\overline\lambda[/mm]
>
> >
> > Also [mm]\lambda=a+ib=-a+ib=-\overline\lambda [/mm], also a=-a, also
> > a=0 und [mm]i\lambda=-b.[/mm]
> >
> > Wieso wird für den Beweis das Skalarprodukt aus dem
> > Eigenvektor (multipliziert mit dem Eigenwert) gebildet ?
> >
> > Ich habe ein wenig Probleme mit
> > Skalarprodukt/Sesquilinearform/Bilinearform.
> > Sind diese Überlegungen richtig:
> > Skalarprodukt auf [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] : positiv definite,
> > symmetrische Bilinearform, Matrixdarstellung symm., nur
> > positive reelleEigenwerte
> > Sesquilinearform: symmetrische Bilinearform auf [mm]\IC,[/mm]
>
> Nein, eine
> Sesqilinearform
> kann nicht symmetrisch sein, sie ist "hermitesch"
>
> Eine Sesquilinearform (die nur auf [mm]\IC[/mm] Sinn macht) hat
> folgende Eingeschaften:
>
> [mm]=\overline{\lambda}*[/mm]
> und [mm]<\lambda*v;w>=\lambda*[/mm]
>
> Das heisst, aus "einer Seite" kann man wie bei der
> Bilinearform ein
> Skalar [mm]\lambda\in\IC[/mm] "vorziehen", bei der "anderen Seite"
> dann das kompelx Konjugierte [mm]\overline{\lambda}[/mm] .
>
> Ein
> Skalarprodukt
> ist durch
> einige Eigenschaften
> definiert.
>
>
> > Matrixdarstellung Hermitesch, reelle positive und negative
> > Eigenwerte
> > Bilinearform auf [mm]\IR:[/mm] muss nicht symmetrisch sein
> >
> > Danke, Susanne.
> >
> >
>
> Hilft das erstmal weiter?
>
> Marius
Hallo Marius,
ja vielen Dank, das hilft schonmal weiter.
Das würde dann zu meinen Fragen 1) und 2) bedeuten, dass alle Aussagen wahr sind - oder ?
Und 3) verstehe ich leider immer noch nicht, warum man den Beweis mit dem Skalarprodukt macht.
Danke, Susanne.
Danke, Susanne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 26.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> 3) Sei [mm]A \in M_{nn}(\IC) [/mm]. Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> A.
> - Wenn A^*=-A, dann ist [mm]i\lambda[/mm] eine reelle Zahl.
> Bei 3) sieht die Erklärung so aus:
> Sei [mm]\lambda = a+ib[/mm] mit a,b, [mm]\in \IR,[/mm] v=Eigenvektor, dann
> gilt:
> [mm]\lambda=<\lambda v,v>=====-\overline\lambda[/mm]
>
> Also [mm]\lambda=a+ib=-a+ib=-\overline\lambda [/mm], also a=-a, also
> a=0 und [mm]i\lambda=-b.[/mm]
>
> Wieso wird für den Beweis das Skalarprodukt aus dem
> Eigenvektor (multipliziert mit dem Eigenwert) gebildet ?
Hallo,
diese Antwort ist vielleicht etwas unbefriedigend:
man macht das so, weil es funktioniert...
Ich denke, daß Du die einzelnen Schritte nachvollziehen kannst.
man braucht hier wie so oft die richtige Idee.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 24.08.2009 | | Autor: | SusanneK |
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> > 3) Sei [mm]A \in M_{nn}(\IC) [/mm]. Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> > A.
> > - Wenn A^*=-A, dann ist [mm]i\lambda[/mm] eine reelle Zahl.
>
> > Bei 3) sieht die Erklärung so aus:
> > Sei [mm]\lambda = a+ib[/mm] mit a,b, [mm]\in \IR,[/mm] v=Eigenvektor,
> dann
> > gilt:
> > [mm]\lambda=<\lambda v,v>=====-\overline\lambda[/mm]
>
> >
> > Also [mm]\lambda=a+ib=-a+ib=-\overline\lambda [/mm], also a=-a, also
> > a=0 und [mm]i\lambda=-b.[/mm]
> >
> > Wieso wird für den Beweis das Skalarprodukt aus dem
> > Eigenvektor (multipliziert mit dem Eigenwert) gebildet ?
>
> Hallo,
>
> diese Antwort ist vielleicht etwas unbefriedigend:
>
> man macht das so, weil es funktioniert...
>
> Ich denke, daß Du die einzelnen Schritte nachvollziehen
> kannst.
> man braucht hier wie so oft die richtige Idee.
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela,
ja, vielen Dank!
Die Schritte kann ich nachvollziehen.
LG, Susanne.
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