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| Aufgabe | Gegeben ist die ![[]](/images/popup.gif) Sherman-Morrison-Formel.
Zu zeigen: [mm] A+uv^{T} [/mm] ist regulär [mm] \gdw 1+v^{T}A^{-1}u \not= [/mm] 0
[mm] A\in \IR^{(n,n)} [/mm] ist eine reguläre Matrix und u,v [mm] \in \IR^n [/mm] sind Vektoren |
Hallo,
die Sherman-Morrison-Formel konnte ich beweisen. Nun soll noch die obige Aussage gezeigt werden. Ich frage mich jedoch, wie ich das am besten beweisen kann.
Für Eure Hilfe und alle Tipps bin ich sehr dankbar!
LG
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sabine!
> Gegeben ist die
> Sherman-Morrison-Formel.
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> Zu zeigen: [mm]A+uv^{T}[/mm] ist regulär [mm]\gdw 1+v^{T}A^{-1}u \not=0[/mm]
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> [mm]A\in \IR^{(n,n)}[/mm] ist eine reguläre Matrix und u,v [mm]\in \IR^n[/mm]
> sind Vektoren
> Hallo,
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> die Sherman-Morrison-Formel konnte ich beweisen. Nun soll
> noch die obige Aussage gezeigt werden. Ich frage mich
> jedoch, wie ich das am besten beweisen kann.
>
> Für Eure Hilfe und alle Tipps bin ich sehr dankbar!
Bei solchen Beweisen musst du meistens geschickt von der einen oder anderen Seite multiplizieren.
Z.B. kannst du [mm]A+uv^{T}[/mm] von rechts erst mit [mm] $A^{-1}$ [/mm] und dann mit u multiplizieren:
[mm] ((A+uv^{T})*A^{-1})*u = (1+uv^TA^{-1})*u = u + uv^TA^{-1}u = u(1+v^TA^{-1}u) [/mm] .
Wenn wir den trivialen Fall u=0 ausschließen, folgt aus der Regularität von [mm]A+uv^{T}[/mm], dass die linke und damit auch die rechte Seite der Gleichungskette [mm] $\not=0$ [/mm] sind.
Jetzt musst du nur noch die andere Richtung beweisen.
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
danke für die Hilfe. Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie in deinen Umformungen due Regularität von [mm] A+uv^T [/mm] eingegangen ist, so dass eine weitere Erläuterung für mich sehr hilfreich wäre.
Bei der Rückrichtung weiß ich leider auch nicht so ganz weiter. Ich dachte mir, ich multipliziere mit [mm] A+uv^T, [/mm] um diesen Ausdruck dort hinein zu bekommen:
[mm] (1+v^TA^{-1}u)(A+uv^T)=A+uv^T+(v^TA^{-1}u)A+(v^TA^{-1}u)uv^T \not= [/mm] 0, aber ich sehe nicht so ganz, was mir das bringen soll...
Gruß
Sabrina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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