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| Aufgabe | | Es seien E1 und E2 zwei σ-Algebren auf einer Grundmenge Ω. Zeigen oder widerlegen Sie: Der Schnitt E1 ∩ E2 ist wieder eine σ-Algebra |
Guten Abend,
1. E1 und E2 σ [mm] -Algebren\Rightarrow \emptyset, [/mm] Ω [mm] \in [/mm] E1,E2 [mm] \Rightarrow \emptyset, [/mm] Ω [mm] \in [/mm] E1 [mm] \cap [/mm] E2
2. Wie zeigt man, dass die Vereinigung ebenfalls im Durchschnitt liegt ?
Gruß zahlenfreund
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Da die Acht diese Frage reserviert hat nur eine Bemerkung:
Was ist überhaupt mal deine Aussage? ja oder nein?
Also: Ja der Schnitt ist wieder eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] !
Man kann dies sogar für einen beliebigen Schnitt zeigen.
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 03.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Es seien E1 und E2 zwei σ-Algebren auf einer Grundmenge
> Ω. Zeigen oder widerlegen Sie: Der Schnitt E1 ∩ E2 ist
> wieder eine σ-Algebra
> 1. E1 und E2 σ [mm] -Algebren\Rightarrow \emptyset, [/mm] Ω [mm] \in [/mm] E1,E2
Nicht an Symbolen sparen! Richtige Folgerung:
[mm] $\emptyset,\Omega\in E_1\text{ und }\emptyset,\Omega\in E_2$. [/mm]
> [mm] \Rightarrow \emptyset,[/mm] [/mm] Ω [mm]\in[/mm] E1 [mm]\cap[/mm] E2
Jetzt macht es auch Sinn, findest du nicht? 
Dennoch ist das bis hierhin nicht ausreichend. Du willst zeigen,
dass dann das Mengensystem [mm] $(E_1\cap E_2)\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ist.
Demnach sind folgende drei Eigenschaften zu zeigen:
1) [mm] $\Omega\in(E_1\cap E_2)\$
[/mm]
2) [mm] $A\in(E_1\cap E_2)\Rightarrow A^c\in(E_1\cap E_2)$
[/mm]
3) [mm] A_1,A_2,\ldots\in(E_1\cap E_2)\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in(E_1\cap E_2)
[/mm]
Die erste Eigenschaft hast du bereits gezeigt. Vielleicht nochmal:
[mm] $E_1,E_2$ [/mm] sind [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] so dass gilt:
[mm] $\Omega\in E_1\text{ und }\Omega\in E_2$.
[/mm]
Damit erhalten wir
[mm] \Omega\in(E_1\cap E_2).
[/mm]
Kommen wir nun zur zweiten Eigenschaft:
[mm] $E_1,E_2$ [/mm] sind [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] so dass gilt:
[mm] $A\in E_1\Rightarrow A^c\in E_1\text{ und }A\in E_2\Rightarrow A^c\in E_2$.
[/mm]
Mit diesen Voraussetzungen ist nun folgendes zu zeigen:
[mm] $A\in (E_1\cap E_2)\Rightarrow A^c\in (E_1\cap E_2)$.
[/mm]
(It's your turn!)
Kommen wir nun zur dritten Eigenschaft:
> 2. Wie zeigt man, dass die Vereinigung ebenfalls im
> Durchschnitt liegt ?
[mm] $E_1,E_2$ [/mm] sind [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] so dass gilt:
[mm] $A_1,A_2,\ldots\in E_1\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in E_1\text{ und }A_1,A_2,\ldots\in E_2\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in E_2$.
[/mm]
Mit diesen Voraussetzungen ist nun folgendes zu zeigen:
[mm] A_1,A_2,\ldots\in(E_1\cap E_2)\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in(E_1\cap E_2).
[/mm]
(It's your turn!)
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:58 Di 04.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DieAcht!
> Kommen wir nun zur dritten Eigenschaft:
>
> > 2. Wie zeigt man, dass die Vereinigung ebenfalls im
> > Durchschnitt liegt ?
>
> Es ist
>
> [mm]\bigcap_{n\in\IN}A_n=\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n^c\right)^c[/mm]
> (Wieso?).
Warum betrachtest du einen Durchschnitt abzählbar vieler Mengen?
Ich sehe da gerade keinen Zusammenhang zum Nachweis der dritten Eigenschaft für [mm] $E_1\cap E_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 04.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Tobias,
Danke für das Kontrollieren. Ich habe gedacht, dass ich mit diesem
Allgemeinen Tipp einen Hinweis für eine "elegante" Lösung für die
dritte Eigenschaft geben kann. Wenn wir zum Beispiel eine Folge aus
dem Mengensystem [mm] E_1 [/mm] nehmen, dann liegt auch die Schnittmenge der
Folgenglieder in [mm] E_1. [/mm] Soweit ich das nun sehe passt das leider
nicht, aber ich gucke es mir heute Abend erneut an.
Die Antwort habe ich editiert. Danke nochmal!
Gruß
DieAcht
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Zu 2
Sei [mm] A_{n} \in [/mm] E1 [mm] \Rightarrow A_{n}^{c} \in [/mm] E1 und [mm] A_{n}\in [/mm] E2 [mm] \Rightarrow A_{n}^{c}\in [/mm] E2
Daraus folgt [mm] A_{n} \in [/mm] E1 [mm] \cap [/mm] E2 und [mm] A_{n}^{c}\in [/mm] E1 [mm] \cap [/mm] E2.
Falls kein gemeinsames A existiert so gilt nach 1) [mm] \emptyset \in [/mm] E1 [mm] \cap [/mm] E2 und [mm] \emptyset^{c}=omega \in [/mm] E1 [mm] \cap [/mm] E2
Zu 3
Ist es nicht trivial,wenn die Ereignisse im Durchschnitt liegen, so auch die Vereinigung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 04.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Bitte deine Fragen an die Antworten stellen, so dass du auch
zitieren kannst und die Helfer nicht immer hin und her müssen.
> Zu 2
> Sei [mm]A_{n} \in[/mm] E1 [mm]\Rightarrow A_{n}^{c} \in[/mm] E1 und [mm]A_{n}\in[/mm]
> E2 [mm]\Rightarrow A_{n}^{c}\in[/mm] E2
> Daraus folgt [mm]A_{n} \in[/mm] E1 [mm]\cap[/mm] E2 und [mm]A_{n}^{c}\in[/mm] E1 [mm]\cap[/mm]
> E2.
Was machst du da? Komplement einer Folge? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich habe dir doch folgendes geschrieben:
[mm] $E_1,E_2$ [/mm] sind [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] so dass gilt:
[mm] $A\in E_1\Rightarrow A^c\in E_1\text{ und }A\in E_2\Rightarrow A^c\in E_2$.
[/mm]
Mit diesen Voraussetzungen ist nun folgendes zu zeigen:
[mm] $A\in (E_1\cap E_2)\Rightarrow A^c\in (E_1\cap E_2)$.
[/mm]
Sei also [mm] $A\in (E_1\cap E_2)$. [/mm] Dann ist [mm] $A\in E_1$ [/mm] und [mm] $A\in E_2$.
[/mm]
Jetzt schau zur Voraussetzung!
> Falls kein gemeinsames A existiert so gilt nach 1)
> [mm]\emptyset \in[/mm] E1 [mm]\cap[/mm] E2 und [mm]\emptyset^{c}=omega \in[/mm] E1
> [mm]\cap[/mm] E2
Natürlich existiert ein [mm] A\in(E_1\cap E_2), [/mm] denn [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sind
[mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] und beinhalten mindestens die Ereignis-
menge und die leere Menge. Damit enthält das Mengensystem
[mm] (E_1\cap E_2) [/mm] auch die Ereignismenge und die leere Menge.
> Zu 3
> Ist es nicht trivial,wenn die Ereignisse im Durchschnitt
> liegen, so auch die Vereinigung ?
Für so eine Antwort bekommst du in der Klausur Null Punkte. Ist
es dann noch immer "trivial"? Ich denke nicht.
Ich habe dir doch folgendes geschrieben:
[mm] $E_1,E_2$ [/mm] sind [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] so dass gilt:
[mm] $A_1,A_2,\ldots\in E_1\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in E_1\text{ und }A_1,A_2,\ldots\in E_2\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in E_2$. [/mm]
Mit diesen Voraussetzungen ist nun folgendes zu zeigen:
[mm] A_1,A_2,\ldots\in(E_1\cap E_2)\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in(E_1\cap E_2). [/mm]
(It's your turn!)
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