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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 14.10.2009 | | Autor: | hargi |
| Aufgabe |
Es sei X ein metrischer Raum, dessen o ffene Teilmengen eine sigma-Algebra bilden. Zeigen Sie, dass
jede Teilmenge von X o ffen ist. (Hint: Zeigen Sie dass jede Punktmenge von X o ffen ist.)
(2) Es sei X eine Menge und A Teilmenge X. Bestimmen Sie die sigma-Algebren, die erzeugt werden von
(a) {A}
(b) {B : A Teilmenge B Teilmenge X}
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bei 1) muss man nur beweisen das alle teilmengen des metrischen raums X zu der sigma-algebra gehören und damit alle teilmengen von X offen sind oder? das problem ist, ich weiß nicht wirklich wie
bei 2) hab ich auch keinen ansatz.
ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 14.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu 1)
Sei G das System der offenen Teilmengen von X. Die Vor. in Deiner Aufgabe ist: G ist auch eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
Nimm ein [mm] x_0 \in [/mm] X und weise nach, dass X \ { [mm] x_0 [/mm] } offen ist. Diese Menge gehört also zur [mm] \sigma [/mm] - Algebra G, folglich ist auch { [mm] x_0 [/mm] } [mm] \in [/mm] G.
Fazit: { [mm] x_0 [/mm] } ist eine offene Menge in X
Siehst Du nun, dass jede Teilmenge von X offen ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 14.10.2009 | | Autor: | hargi |
Hmm irgendwie sehe ich das nicht so ganz. Kannnst du mir das bitte näher erläutern?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 14.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wenn ich Fred korrekt verstehe, argumentiert er wie folgt:
Sei [mm] $O\subset [/mm] X$. Fuer jedes $o [mm] \in [/mm] O$ ist [mm] $\{o\}$ [/mm] offen.
Mithin ist [mm] $O=\bigcup_{o\in O}\{o\}$ [/mm] als Vereinigung offener
Teilmengen von $X_$ offen.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> wenn ich Fred korrekt verstehe, argumentiert er wie
> folgt:
> Sei [mm]O\subset X[/mm]. Fuer jedes [mm]o \in O[/mm] ist [mm]\{o\}[/mm] offen.
> Mithin ist [mm]O=\bigcup_{o\in O}\{o\}[/mm] als Vereinigung
> offener
> Teilmengen von [mm]X_[/mm] offen.
..................... endlich mal jemand , der mich versteht .........
FRED
>
> vg Luis
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