Sigma-Algebra der Borelmengen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Di 22.11.2005 | | Autor: | junkx |
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
hi
ich hab hier eine aufgabe vor mir wobei mir nicht klar ist was ich tun soll (kann auch am schlechten vorlesungsstil meines profs liegen :D)
Man zeige dass die folgenden Mengensysteme die sigma-Algebra der Borelmengen [mm] B(\IR) [/mm] erzeugen:
(a) {(- [mm] \infty, [/mm] x) : x [mm] \in \IR [/mm] }
(b)...
das problem ist das ich zwar mitlerweile so ungefähr verstanden habe was die sigma algebra der borelmengen ist (Mengensystem A wobei komplement, abzählbare vereinigung und abzählbarer schnitt einer Menge aus A wieder in A liegen) aber ich weis nicht wie ich das nachweisen soll
definiert wurde [mm] B(\IR) [/mm] so: {[x,y) [mm] \cap \IR [/mm] : - [mm] \infty \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \le \infty [/mm] }
es würde mir sehr helfen wenn mir jemand wenigstens die ungefähre richtung vorgeben könnte was ich hier tun soll...
danke vielmals
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 22.11.2005 | | Autor: | junkx |
nach ewigem hin und her überlegen bin ich zu folgendem gekommen:
ich verstehe die aufgabe so, dass ich zeigen soll dass sigma(A) = [mm] B(\IR) [/mm] gilt (wobei A = {I(x) = (- [mm] \infty, [/mm] x) : x [mm] \in \IR [/mm] }) dh. teilmengen beziehungen in beide richtungen sind zu zeigen
es gilt sigma(A) [mm] \subseteq B(\IR) [/mm] denn (- [mm] \infty, [/mm] x) = [a,b) [mm] \cap \IR [/mm] mit x=b und a=- [mm] \infty [/mm] soll heißen alle I(x) lassen sich durch I(a,b) (intervall nach borelmengen definition) darstellen. somit lassen sich auch alle sigma-algebra erzeugnisse von I(x) für beliebige x aus [mm] \IR [/mm] als sigma-erzeugnisse von I(a,b) darstellen.
weiter gilt [mm] B(\IR) \subseteq [/mm] sigma(A) denn [a,b) [mm] \cap \IR [/mm] = (- [mm] \infty, [/mm] b) - (- [mm] \infty, [/mm] a) = (- [mm] \infty, [/mm] b) [mm] \cap [/mm] Komlement( (- [mm] \infty, [/mm] a) ). soll heißen jedes Intervall I(a,b) lässt sich als Schnitt von Intervallen I(x) darstellen. somit sind auch alle sigma-erzeugnisse (aus [mm] B(\IR)) [/mm] in sigma(A) enthalten.
stimmt das so? oder verlangt die aufgabe noch mehr?!
ferner stellt sich nun die frage nach aufgabe b:
{(- [mm] \infty, [/mm] x) : x [mm] \in \IQ [/mm] }
dafür funktioniert ja obige argumentation nicht mehr weil ja [mm] B(\IR) [/mm] noch mehr beinhaltet oder?!
danke im vorraus
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Hallo!
> ich verstehe die aufgabe so, dass ich zeigen soll dass
> sigma(A) = [mm]B(\IR)[/mm] gilt (wobei $A = [mm] \{I(x) = (-\infty, x) : x $
> $\in \IR \}$) [/mm] dh. teilmengen beziehungen in beide richtungen
> sind zu zeigen
Das ist im wesentlichen der richtige Ansatz: Zu zeigen ist, dass [mm] $A\subseteq \mathcal{B}(\IR)$, [/mm] sowie dass ein Erzeugendensystem $B$ von [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] in [mm] $\sigma(A)$.
[/mm]
> es gilt sigma(A) [mm]\subseteq B(\IR)[/mm] denn (- [mm]\infty,[/mm] x) =
> [a,b) [mm]\cap \IR[/mm] mit x=b und a=- [mm]\infty[/mm] soll heißen alle I(x)
> lassen sich durch I(a,b) (intervall nach borelmengen
> definition) darstellen. somit lassen sich auch alle
> sigma-algebra erzeugnisse von I(x) für beliebige x aus [mm]\IR[/mm]
> als sigma-erzeugnisse von I(a,b) darstellen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> weiter gilt [mm]B(\IR) \subseteq[/mm] sigma(A) denn [a,b) [mm]\cap \IR[/mm] =
> (- [mm]\infty,[/mm] b) - (- [mm]\infty,[/mm] a) = (- [mm]\infty,[/mm] b) [mm]\cap[/mm]
> Komlement( (- [mm]\infty,[/mm] a) ). soll heißen jedes Intervall
> I(a,b) lässt sich als Schnitt von Intervallen I(x)
> darstellen. somit sind auch alle sigma-erzeugnisse (aus
> [mm]B(\IR))[/mm] in sigma(A) enthalten.
So ist es!
> stimmt das so? oder verlangt die aufgabe noch mehr?!
Ich denke, dass das ausreicht.
> ferner stellt sich nun die frage nach aufgabe b:
> [mm] $\{(- \infty,x) : x \in \IQ\}$
[/mm]
> dafür funktioniert ja obige argumentation nicht mehr weil
> ja [mm]B(\IR)[/mm] noch mehr beinhaltet oder?!
Hierbei solltest du bedenken, dass es für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] eine Folge [mm] $\big(x_n\big)_{n\in\IN}$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] gibt mit [mm] $x_n\le x_{n+1}$ [/mm] und [mm] $x_n\to [/mm] x$...
Gruß, banachella
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