Sigma-Algebren über < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 20.09.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen!
Wenn ich die [mm] \sigma-Algebra [/mm] über eine höchstens abzählbare Menge [mm] \Omega [/mm] bilde, gilt dann: [mm] \sigma(\Omega)=P(\Omega) [/mm] , wobei [mm] P(\Omega) [/mm] grad die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] ist?
Denn wenn wir in unserer Vorlesung einen W'raum über eine höchstens abzählbare Menge betrachten, setzen wir die dazugehörige [mm] \sigma-Algebra [/mm] stets der Potenzmenge - leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen -
kann mir jemand auf die Sprünge helfen - wäre um jede Hilfe dankbar!
Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße
DesterX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mi 20.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo DesterX,
wenn man einen Grundraum [mm]\Omega[/mm] hat, dann möchte man für möglichst viele Teilmengen [mm]A[/mm] von [mm]\Omega[/mm] die zugehörige Wahrscheinlichkeit [mm]P(A)[/mm] angeben können, und alle diese Ereignisse, wo man das kann fasst man zu der Sigma-Algebra der Ereignisse zusammen.
Ist [mm]\Omega[/mm] nun abzählbar und kennt man alle Einzelwahrscheinlichkeiten [mm]P(\{\omega\})[/mm], also für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm], dann kann man über
$$P(A) = [mm] \sum\limits_{\omega\in A} [/mm] ~ [mm] P(\{\omega\})$$
[/mm]
auch die Wahrscheinlichkeit jeder Teilmenge [mm]A\subset \Omega[/mm] erklären. Und somit wählt man die Sigma-Algebra der Ereignisse so groß wie möglich, und das ist nun mal die Potenzmenge, da diese alle Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] enthält.
Für überabzählbare [mm]\Omega[/mm] scheitert dieses Konstruktionsprinzip, da es ja keine überabzählbaren Summen gibt. Deswegen ist dort i.a. die zu betrachtende Sigma-Algebra der Ereignisse kleiner als die Potenzmenge, d.h. es gibt dort nichtmessbare Mengen, einfachstes Beispiel die Borel-Sigma-Algebra in [mm]\mathbb{R}[/mm].
Gruß,
Dirk
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