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| Aufgabe | Sei $ [mm] \Omega [/mm] $ = $ {a,b,c,d,e} $
a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] A, also
[mm] A:=\sigma [/mm] $ ({{a,b},{c,d}}). $
b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm] (\Omega,A) [/mm] an. |
Mahlzeit,
Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.
Lösung:
[mm] \sigma(A) [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}
[/mm]
ich hoffe, dass es richtig ist.
zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat mir nicht weitergeholfen.
MfG
AragornII
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 26.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] = [mm]{a,b,c,d,e}[/mm]
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> a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] A, also
>
> [mm]A:=\sigma[/mm] [mm]({{a,b},{c,d}}).[/mm]
>
> b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm](\Omega,A)[/mm]
> an.
> Mahlzeit,
>
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.
>
> Lösung:
>
> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]
Moin, das musst du m.E. sauberer aufschreiben. Ist bei dir [mm] $\{\emptyset\}\in [/mm] A$? Dann ist es falsch. Schreibe es so auf, dass auch [mm] $\emptyset\in [/mm] A$.
>
> ich hoffe, dass es richtig ist.
>
> zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki
> durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat
> mir nicht weitergeholfen.
Bin kein Maßmensch, aber [mm] $(\Omega,A)$ [/mm] ist ein *Mess*raum. Zur Defintion einer Zufallsvariablen benoetigt man aber m.W. einen *Maß*raum [mm] $(\Omega,A,P)$ [/mm] mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] $P:A\to[0,1]$. [/mm] Insofern erscheint mir die Fragestellung unvollstaendig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo luis,
> Zur Defintion einer Zufallsvariablen benoetigt man aber m.W. einen *Maß*raum [mm](\Omega,A,P)[/mm] mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P:A\to[0,1][/mm]
Nein, benötigt man nicht. Die Eigenschaft einer Zufallsvariablen hängt ja in keiner Weise vom Maß P sondern nur von den beteiligten Sigma-Algebren ab.
Meßbarkeitseigenschaften ändern sich, glücklicherweise, unter einem Maßwechsel nicht.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 26.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] = [mm]{a,b,c,d,e}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] A, also
>
> [mm]A:=\sigma[/mm] [mm]({{a,b},{c,d}}).[/mm]
>
> b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm](\Omega,A)[/mm]
> an.
> Mahlzeit,
>
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.
>
> Lösung:
>
> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]
>
> ich hoffe, dass es richtig ist.
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> zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki
> durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat
> mir nicht weitergeholfen.
zu b): In [mm] \IR [/mm] sei die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra B gegeben.
Du sollst alle Abbildungen X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] bestimmen, die A -B - messbar sind.
Dabei heißt eine Abbildung $X: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] A -B - messbar, wenn für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
$ [mm] \lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq [/mm] x [mm] \rbrace \in [/mm] A$
FRED
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> MfG
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> AragornII
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 26.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AragornII!
> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]
1. Es fehlen auf beiden Seiten Klammern.
2. [mm] \{M\}\not=M [/mm] (Siehe Luis Antwort).
3. Der Ausdruck [mm] \sigma(A) [/mm] ist richtig, aber könnte zu einem
Punktabzug führen. Sei
[mm] X:=\{\{a,b\},\{c,d\}\}
[/mm]
ein Mengensystem über [mm] \Omega. [/mm] Mit [mm] \sigma(X) [/mm] bezeichnen wir die
von [mm] $X\$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \Omega [/mm] und setzen
[mm] $A:=\sigma(X)\quad(=\sigma(\{\{a,b\},\{c,d\}\}))$.
[/mm]
Eigentlich ist nach der Angabe von [mm] $A\$ [/mm] und nicht von [mm] \sigma(A)
[/mm]
gefragt, aber wegen der Idempotenz des [mm] $\sigma$-Operators [/mm] ist
[mm] \sigma(A)=\sigma(\sigma(X))=\sigma(X)=A,
[/mm]
so dass eigentlich alles in Ordnung ist.
Gruß
DieAcht
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