Sigma Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | | es sei E eine sigma algebra auf [mm]\IR^2[/mm] die alle offenen kreisscheiben enthaelt. dann enthaelt sie auch alle offenen rechtecke. |
Hallo.
Ich habe leider keinen Plan, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich weis nur, dass offene Kreisscheiben bzw Rechtecke sozusagen Kreise ohne Rand sind. Und ich weis was Sigma Algebren erfuellen muessen. ( leere menge, koplement und vereinigung muessen in E enthalten sein.) Kann mir bitte noch jemand einen Tipp geben wie ich nun vorgehen muss.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei R ein solches offenes Rechteck
Die Menge [mm] R\cap \IQ^2 [/mm] ist abzählbar, etwa [mm] R\cap \IQ^2 [/mm] = { [mm] x_1, x_2, x_3, [/mm] ... }
Da R offen ist gibt es zu jedem [mm] x_j [/mm] eine offene Kreischeibe [mm] K_j [/mm] mit Mittelpunkt [mm] x_j [/mm] und
[mm] K_j \subset [/mm] R.
Nun betrachte A := [mm] \bigcup_{j=1}^{\infty}K_j
[/mm]
Fragen:
1. Gehört A zu Deiner [mm] \sigma [/mm] - Algebra ?
2. Was hat A mit R zu tun ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo. Danke fuer deine Hilfe.
Also enthaelt jeden Kreisscheibe etwas von R. Sprich der Mittelpunkt xj ist element R. Und da A die Vereinigung aller Kreisscheiben ist gehoert A auch zu meiner Sigmaalgebra, denn die soll ja alle Kreisscheiben enthalten.
Dies sind meine ersten Gedanken zu deinem Tipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. Danke fuer deine Hilfe.
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> Also enthaelt jeden Kreisscheibe etwas von R. Sprich der
> Mittelpunkt xj ist element R.
Jede Kreisscheibe liegt ganz in R, so ist sie doch konstruiert !!!
> Und da A die Vereinigung
> aller Kreisscheiben ist gehoert A auch zu meiner
> Sigmaalgebra,
Ja
> denn die soll ja alle Kreisscheiben
> enthalten.
Und was hat A mit R zu tun ?
FRED
>
> Dies sind meine ersten Gedanken zu deinem Tipp.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Tut mir leid, aber ich weis leider nicht was R mit A zu tun hat. Sorry!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Tut mir leid, aber ich weis leider nicht was R mit A zu tun
> hat. Sorry!!!
Na, $A$ liegt doch nach Konstruktion komplett in $R$.
Jetzt ueberleg dir, dass auch jeder Punkt aus $R$ in $A$ liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo, danke für deine Antwort.
Naja ich hatte ja schon einmal geantwortet, dass R komplett in A liegt, weil man jedes xj von R als einen Mittelpunkt einer Kreisscheibe von A bezeichenen kann. Ist dies nicht richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Naja ich hatte ja schon einmal geantwortet, dass R komplett
> in A liegt, weil man jedes xj von R als einen Mittelpunkt
> einer Kreisscheibe von A bezeichenen kann.
Nein, das hattest du eben nicht geschrieben! Darf ich zitieren? "Also enthaelt jeden Kreisscheibe etwas von R. Sprich der Mittelpunkt xj ist element R." Daraufhin schrieb Fred: "Jede Kreisscheibe liegt ganz in R, so ist sie doch konstruiert !!!"
> Ist dies nicht richtig so?
Nur weil der Mittelpunkt drinnen liegt muss eine Kreisscheibe noch nicht komplett drinnen liegen. Aber die Kreisscheiben wurden ja gerade so gewaehlt, dass sie drinnen liegen. Also passt es.
Der eigentliche Punkt der Aufgabenstellung ist allerdings die Inklusion $R [mm] \subseteq [/mm] A$.
LG Felix
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