Sigma Algebra, Vereinigung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeige dass die Vereinigung [mm] \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A_2} [/mm] zweier [mm] \sigma [/mm] Algebren [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] und [mm] \mathcal{A}_1 [/mm] genau dann eine [mm] \sigma [/mm] Algebra ist wenn [mm] \mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}_2 [/mm] oder [mm] \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{A}_1 [/mm] |
<= o.b.d.A. [mm] \mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}_2: \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] : A [mm] \in \mathcal{A}_2
[/mm]
[mm] \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 [/mm] = [mm] \mathcal{A}_2
[/mm]
laut Vor ist [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] eine sigma elgebra
=>
Sei [mm] \mathcal{A}_1 \not\subset \mathcal{A}_2 [/mm] und [mm] \mathcal{A}_2 \not\subset \mathcal{A}_1
[/mm]
[mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2
[/mm]
[mm] \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1
[/mm]
Ang [mm] \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 [/mm] wäre [mm] \sigma-ALgebra
[/mm]
Nun will ich so einen widerspruchsbeweis machen wie man das mit Teilräumen gemacht hat. Was soll ich aber hier für eine Operation wählen, dass so ein Beweis aufgeht?
A .. B [mm] \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2
[/mm]
so müsste : A .. B [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] oder A .. B [mm] \in \mathcal{A}_2
[/mm]
Ang A ... B [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] ..
Ich versucht mit Mengendifferenz, ist aber nicht aufgegangen!
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Hallo,
Du hast eine Äquivalenz zu zeigen. $ [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] $, $ [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] $ sind $ [mm] \sigma-$Algebren. [/mm] Z.z.g:
1) $ [mm] \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $ ist $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] $ [mm] \Rightarrow \left(\mathcal{A}_{1} \subset \mathcal{A}_{2}\right) \vee \left(\mathcal{A}_{2} \subset \mathcal{A}_{2}\right) [/mm] $
2) $ [mm] \left(\mathcal{A}_{1} \subset \mathcal{A}_{2}\right) \vee \left(\mathcal{A}_{2} \subset \mathcal{A}_{2}\right) \Rightarrow \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $ ist [mm] $\sigma-$Algebra [/mm]
Zur 1)
Sei $ [mm] \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $ eine $ [mm] \sigma-$Algebra.
[/mm]
Dann gilt (Definition):
i) $ [mm] \Omega \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $
ii) $ A [mm] \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} \Rightarrow A^C \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $
iii) $ [mm] A_1, A_2, [/mm] ...., [mm] A_n \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} \Rightarrow \bigcup A_i \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $
Der Entscheidende Punkt ist hier iii)
Überlege, warum aus iii) unmittelbar $ [mm] \mathcal{A}_{1} \subset \mathcal{A}_{2} [/mm] $ bzw $ [mm] \mathcal{A}_{2} \subset \mathcal{A}_{1} [/mm] $ folgen muss. Du kannst hier, wenn du möchtest, auch einen Widerspruch erzeugen.
Hilft dir das?
Bedenke, dass die Rückrichung, also 2) noch zu zeigen ist.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Hast du meine Ideen vom 1.Beitrag gelesen? Daraus wird klar, dass ich 2 bewiesen habe und dass ich bei 1 schon eine Beweisidee habe, die jedoch nicht fertig umsetzen konnte.
Meine Frage nochmal: Führt der Weg, den ich im Beitrag 1 angegeben habe nicht zum Ziel? Oder doch mit richtiger Operation?
ChopSuey, danke trotzdem für den Tipp, vlt krieg ich es auf diese Weise hin. Ich versuchs einmal!Trotzdem hätte ich noch gerne Antwort zu meinen Weg .
lg
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Hallo,
sorry, du hast recht. Ich hab das tatsächlich übersehen, allerdings lag das auch mit unter an der für mich schwer nachvollziehbaren Verwendung der Quantoren und den unvollständigen Sätzen.
Dein Beweis zu 2) ist in Ordnung.
Zu deinem Widerspruchsbeweis:
Der Ansatz ist ebenfalls in Ordnung und geht in dieselbe Richtung, wie mein Vorschlag. Du hast folgende Möglichkeiten:
Du setzt vorauss, dass $ [mm] \mathcal{A}_{1} \not\subset \mathcal{A}_{2}$ [/mm] und zeigst, dass (wie im ersten Post erwähnt ist Bedingung iii) relevant) daraus folgt, dass $ [mm] \mathcal{A}_{2} \subset \mathcal{A}_{1}$ [/mm] sein muss. Das selbe funktioniert dann analog für den Fall $ [mm] \mathcal{A}_{2} \not\subset \mathcal{A}_{1} [/mm] $
Oder du machst es, wie du oben angesetzt hast, in dem du beide Fälle ausschließt.
Du brauchst keine Operation, sondern du musst dir überlegen, warum die Elemente $ A [mm] \notin \mathcal{A}_{1} \setminus \mathcal{A}_{2} [/mm] $ und $ B [mm] \notin \mathcal{A}_{2} \setminus \mathcal{A}_{1} [/mm] $ die Bedingung iii) verletzen.
Hinweis: Jede $ [mm] \sigma-$ [/mm] Algebra ist auch eine  Algebra. Das hilft dir vielleicht, den Beweis zu ende zu bringen.
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Mo 29.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke.
Ich habe es so wie du es erklärst leider nicht verstanden. Mittels der Operation der symmetrischen Mengendifferenz geht aber mein beweis auf.
Sei $ [mm] \mathcal{A}_1 \not\subset \mathcal{A}_2 [/mm] $ und $ [mm] \mathcal{A}_2 \not\subset \mathcal{A}_1 [/mm] $
$ [mm] \exists [/mm] $ A $ [mm] \in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2 [/mm] $
$ [mm] \exists [/mm] $ B $ [mm] \in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1 [/mm] $
Ang $ [mm] \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 [/mm] $ wäre $ [mm] \sigma-ALgebra [/mm] $
A [mm] \Delta [/mm] B $ [mm] \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 [/mm] $
so müsste : A [mm] \Delta [/mm] B $ [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] $ oder A [mm] \Delta [/mm] B $ [mm] \in \mathcal{A}_2 [/mm] $
Ang A [mm] \Delta [/mm] B $ [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] $ => A [mm] \Delta [/mm] (A [mm] \Delta [/mm] B)= (A [mm] \Delta [/mm] A) [mm] \Delta [/mm] B = [mm] \{ \} \Delta [/mm] B = B [mm] \in \mathcal{A}_1 [/mm] Widerspruch.
Analog erhält man einen Widerspruch bei A [mm] \Delta [/mm] B $ [mm] \in \mathcal{A}_2$
[/mm]
Vlt. möchtest du deinen beweis auch kurz zeigen!?
Liebe Grüße
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Hallo,
Sei $ [mm] \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $ eine [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] und $ [mm] \mathcal{A}_{1} \not\subset \mathcal{A}_{2} \Rightarrow \exists [/mm] \ A' [mm] \in \left(\mathcal{A}_{1}\setminus \mathcal{A}_{2}\right) \Rightarrow [/mm] A' [mm] \subset \bigcup_{i=1, \atop A_i \in \mathcal{A}_{2}}^{n} A_i [/mm] $ für alle $ i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] $ genau dann, wenn $ [mm] A_i \in A_1 [/mm] $ für alle $ i [mm] \in \{1,...,n\} \Rightarrow A_2 \subset A_1$. [/mm] Andernfalls existiert ein $ [mm] A_j [/mm] =: B [mm] \in (\mathcal{A}_{2}\setminus\mathcal{A}_{1}) [/mm] $ mit $ j [mm] \in \{1,...,n \} [/mm] $, so dass $ A' [mm] \not\subset A_j \cup A_k [/mm] $ für bestimmte $ j,k [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] $.
Dann ist $ A', B' [mm] \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} [/mm] $ aber $ A' [mm] \cup [/mm] B' [mm] \not\in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2} \Rightarrow [/mm] $ Widerspruch, also gilt doch $ [mm] A_2 \subset A_1 [/mm] $.
Ich hoffe das hilft!
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey,
ich kann dir leider nicht folgen.
> Sei [mm]\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm] eine
> [mm]\sigma-[/mm]Algebra und [mm]\mathcal{A}_{1} \not\subset \mathcal{A}_{2} \Rightarrow \exists \ A' \in \left(\mathcal{A}_{1}\setminus \mathcal{A}_{2}\right)[/mm]
Bis hierhin verstehe ich es noch. Zu zeigen ist [mm] $\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow A' \subset \bigcup_{i=1, \atop A_i \in \mathcal{A}_{2}}^{n} A_i[/mm]
Wo kommen auf einmal $n$ und die [mm] $A_i$ [/mm] her? Meinst du vielleicht
[mm] $A'\subset\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A$?
[/mm]
Wegen [mm] $\Omega\in\mathcal{A}_2$ [/mm] gilt [mm] $\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A=\Omega$. [/mm] Daher stünde dann nichts anderes als [mm] $A'\subset\Omega$ [/mm] da. Keine bahnbrechende Erkenntnis...
(Beachte übrigens: [mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] ist nicht als endlich vorausgesetzt!)
> für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
Die Aussage davor hängt doch gar nicht von $i$ ab. Welchen Sinn macht es, dass diese Aussage für alle [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] gelten soll?
> genau dann, wenn [mm]A_i \in A_1[/mm] für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
Meinst du [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] statt [mm] $A_1$?
[/mm]
Warum denn das?
> [mm]\Rightarrow A_2 \subset A_1[/mm].
Meinst du am Ende [mm] $\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1$?
[/mm]
Ich habe zwar nicht ansatzweise verstanden, wie du [mm] $\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1$ [/mm] gezeigt haben willst. Aber wenn du es gezeigt hättest, wärst du hier fertig.
> Andernfalls
In welchem Fall?
> existiert ein [mm]A_j =: B \in (\mathcal{A}_{2}\setminus\mathcal{A}_{1})[/mm]
Meinst du $B'$ statt $B$? Weiter unten taucht nämlich ein $B'$ auf.
> mit [mm]j \in \{1,...,n \} [/mm], so dass [mm]A' \not\subset A_j \cup A_k[/mm]
> für bestimmte [mm]j,k \in \{1,...,n\} [/mm].
>
> Dann ist [mm]A', B' \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm]
> aber [mm]A' \cup B' \not\in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm]
Warum soll letzteres gelten?
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch, also gilt doch [mm]A_2 \subset A_1 [/mm].
[mm] $\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1$ [/mm] gemeint?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mo 29.04.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
da sind ein paar Dinge oben in meiner Antwort durcheinander geraten, also:
Für zwei Mengen $ A, B [mm] \in \mathcal{A}_{1} [/mm] $ gilt $ A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}_{1} [/mm] $, da jede $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] eine Algebra ist. (*)
> Hallo ChopSuey,
>
>
> ich kann dir leider nicht folgen.
>
>
> > Sei [mm]\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm] eine
> > [mm]\sigma-[/mm]Algebra und [mm]\mathcal{A}_{1} \not\subset \mathcal{A}_{2} \Rightarrow \exists \ A' \in \left(\mathcal{A}_{1}\setminus \mathcal{A}_{2}\right)[/mm]
>
> Bis hierhin verstehe ich es noch. Zu zeigen ist
> [mm]\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1[/mm].
>
> > [mm]\Rightarrow A' \subset \bigcup_{i=1, \atop A_i \in \mathcal{A}_{2}}^{n} A_i[/mm]
>
> Wo kommen auf einmal [mm]n[/mm] und die [mm]A_i[/mm] her? Meinst du
> vielleicht
>
> [mm]A'\subset\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A[/mm]?
Ja, das meinte ich. Wobei ich damit ausdrücken wollte, dass für abzählbar viele Teilmengen $ [mm] \in \mathcal{A}_{2} [/mm] $ die Vereinigungen, gemäß (*) stets in $ [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] $ enthalten sind.
>
> Wegen [mm]\Omega\in\mathcal{A}_2[/mm] gilt
> [mm]\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A=\Omega[/mm]. Daher stünde dann
> nichts anderes als [mm]A'\subset\Omega[/mm] da. Keine bahnbrechende
> Erkenntnis...
Ich meinte wie gesagt nicht die Vereinigung aller $ [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] $ enthaltenden Mengen. Dass $ [mm] \Omega \in \mathcal{A}_{2} [/mm] $ ist klar.
>
> (Beachte übrigens: [mm]\mathcal{A}_2[/mm] ist nicht als endlich
> vorausgesetzt!)
Davon bin ich ausgegangen, ja. Evtl liegt hier der Hund begraben.
>
> > für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
> Die Aussage davor hängt
> doch gar nicht von [mm]i[/mm] ab. Welchen Sinn macht es, dass diese
> Aussage für alle [mm]i\in\{1,\ldots,n\}[/mm] gelten soll?
Siehe erneut (*). Mit dem Index wollte ich ausdrücken, dass für abzählbar viele Elemente $ [mm] A_1,A_2,...,A_n [/mm] $ (auch bereits für n = 2) stets die Vereinigung $ [mm] \bigcup_{i=1}^{n} A_i [/mm] $ in der $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] enthalten ist.
>
> > genau dann, wenn [mm]A_i \in A_1[/mm] für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
>
> Meinst du [mm]\mathcal{A}_1[/mm] statt [mm]A_1[/mm]?
Ja! Sorry.
>
> Warum denn das?
>
> > [mm]\Rightarrow A_2 \subset A_1[/mm].
> Meinst du am Ende
> [mm]\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1[/mm]?
Jep.
>
> Ich habe zwar nicht ansatzweise verstanden, wie du
> [mm]\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1[/mm] gezeigt haben willst.
> Aber wenn du es gezeigt hättest, wärst du hier fertig.
>
>
> > Andernfalls
> In welchem Fall?
$ [mm] \mathcal{A}_{2} \not\subset \mathcal{A}_{1} [/mm] $
>
> > existiert ein [mm]A_j =: B \in (\mathcal{A}_{2}\setminus\mathcal{A}_{1})[/mm]
>
> Meinst du [mm]B'[/mm] statt [mm]B[/mm]? Weiter unten taucht nämlich ein [mm]B'[/mm]
> auf.
Jep.
>
> > mit [mm]j \in \{1,...,n \} [/mm], so dass [mm]A' \not\subset A_j \cup A_k[/mm]
> > für bestimmte [mm]j,k \in \{1,...,n\} [/mm].
> >
> > Dann ist [mm]A', B' \in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm]
> > aber [mm]A' \cup B' \not\in \mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}[/mm]
>
> Warum soll letzteres gelten?
Hier muss ich nochmal drüber gehen, muss mir nochmal überlegen, wie bzw ob ich das zeigen kann.
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch, also gilt doch [mm]A_2 \subset A_1 [/mm].
>
> [mm]\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1[/mm] gemeint?
Jep.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
>
Danke für's aufpassen!
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:41 Di 30.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey,
> > > [mm]\Rightarrow A' \subset \bigcup_{i=1, \atop A_i \in \mathcal{A}_{2}}^{n} A_i[/mm]
>
> >
> > Wo kommen auf einmal [mm]n[/mm] und die [mm]A_i[/mm] her? Meinst du
> > vielleicht
> >
> > [mm]A'\subset\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A[/mm]?
>
> Ja, das meinte ich. Wobei ich damit ausdrücken wollte,
> dass für abzählbar viele Teilmengen [mm]\in \mathcal{A}_{2}[/mm]
> die Vereinigungen, gemäß (*) stets in [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm]
> enthalten sind.
>
>
> >
> > Wegen [mm]\Omega\in\mathcal{A}_2[/mm] gilt
> > [mm]\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A=\Omega[/mm]. Daher stünde dann
> > nichts anderes als [mm]A'\subset\Omega[/mm] da. Keine bahnbrechende
> > Erkenntnis...
>
> Ich meinte wie gesagt nicht die Vereinigung aller
> [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm] enthaltenden Mengen. Dass [mm]\Omega \in \mathcal{A}_{2}[/mm]
> ist klar.
Du meinst also doch nicht [mm] $\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2}A$? [/mm] Denn das IST die Vereinigung aller in [mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] enthaltenen Mengen.
Du möchtest also [mm] $\bigcup_{i=1}^nA_i$ [/mm] für endlich viele Teilmengen [mm] $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{A}_2$ [/mm] betrachten?
Dafür wird im Allgemeinen nicht [mm] $A'\subseteq\bigcup_{i=1}^nA_i$ [/mm] gelten.
Aber man kann [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] so wählen, dass [mm] $A'\subseteq\bigcup_{i=1}^nA_i$ [/mm] gilt, z.B. indem man $n=1$ und [mm] $A_1:=\Omega$ [/mm] wählt.
Du solltest verraten, was für ein $n$ und was für Mengen [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] du nun betrachten möchtest.
> > (Beachte übrigens: [mm]\mathcal{A}_2[/mm] ist nicht als endlich
> > vorausgesetzt!)
>
> Davon bin ich ausgegangen, ja. Evtl liegt hier der Hund
> begraben.
Bisher kann ich auch für den Fall, dass [mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] endlich ist, keine sinnvolle Argumentation erkennen.
> > > für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
> > Die Aussage davor
> hängt
> > doch gar nicht von [mm]i[/mm] ab. Welchen Sinn macht es, dass diese
> > Aussage für alle [mm]i\in\{1,\ldots,n\}[/mm] gelten soll?
>
> Siehe erneut (*). Mit dem Index wollte ich ausdrücken,
> dass für abzählbar viele Elemente [mm]A_1,A_2,...,A_n[/mm] (auch
> bereits für n = 2) stets die Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i[/mm]
> in der [mm]\sigma-[/mm]Algebra enthalten ist.
Meinst du "endlich viele Elemente" statt "abzählbar viele Elemente"?
Du meinst also eher "für alle $n$" als "für alle $i$".
> > > genau dann, wenn [mm]A_i \in A_1[/mm] für alle [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm]
>
> >
> > Meinst du [mm]\mathcal{A}_1[/mm] statt [mm]A_1[/mm]?
>
> Ja! Sorry.
>
> >
> > Warum denn das?
Nochmal: Warum sollten die [mm] $A_i$ [/mm] bereits in [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] liegen?
> > > Andernfalls
> > In welchem Fall?
>
> [mm]\mathcal{A}_{2} \not\subset \mathcal{A}_{1}[/mm]
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") O.K., verstehe, jetzt soll also erst die Begründung für [mm] $\mathcal{A}_2\subset\mathcal{A}_1$ [/mm] kommen.
> > > existiert ein [mm]A_j =: B \in (\mathcal{A}_{2}\setminus\mathcal{A}_{1})[/mm]
>
> >
> > Meinst du [mm]B'[/mm] statt [mm]B[/mm]? Weiter unten taucht nämlich ein [mm]B'[/mm]
> > auf.
>
> Jep.
>
> >
> > > mit [mm]j \in \{1,...,n \} [/mm], so dass [mm]A' \not\subset A_j \cup A_k[/mm]
> > > für bestimmte [mm]j,k \in \{1,...,n\} [/mm].
Warum soll das gelten? Klar ist, dass im Falle [mm] $\mathcal{A}_2\not\subseteq\mathcal{A}_1$ [/mm] ein [mm] $B\in\mathcal{A}_2\setminus\mathcal{A}_1$ [/mm] existiert. Aber warum gilt [mm] $B=A_j$ [/mm] für ein [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$? [/mm] Und warum gibt es ein [mm] $k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $A'\not\subseteq A_j\cup A_k$? [/mm] Vielleicht klärt sich das, wenn du verrätst, wie du [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] wählen möchtest.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Mittels der Operation der symmetrischen
> Mengendifferenz geht aber mein beweis auf.
> Sei [mm]\mathcal{A}_1 \not\subset \mathcal{A}_2[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}_2 \not\subset \mathcal{A}_1[/mm]
> [mm]\exists[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2[/mm]
>
> [mm]\exists[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1[/mm]
> Ang
> [mm]\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2[/mm] wäre [mm]\sigma-ALgebra[/mm]
>
> A [mm]\Delta[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2[/mm]
> so müsste
> : A [mm]\Delta[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_1[/mm] oder A [mm]\Delta[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_2[/mm]
>
> Ang A [mm]\Delta[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_1[/mm] => A [mm]\Delta[/mm] (A [mm]\Delta[/mm] B)=
> (A [mm]\Delta[/mm] A) [mm]\Delta[/mm] B = [mm]\{ \} \Delta[/mm] B = B [mm]\in \mathcal{A}_1[/mm]
> Widerspruch.
> Analog erhält man einen Widerspruch bei A [mm]\Delta[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}_2[/mm]
Sehr schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Ich gehe davon aus, ihr wisst schon, dass [mm] $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta [/mm] C)$ für alle Mengen $A,B,C$ gilt?)
Viele Grüße
Tobias
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