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Signal- und Systemtheorie: Lösungen im Buch von Bossert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:09 Do 19.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

in dem oben erwähnten Buch "Signal- und Systemtheorie" von Frey, Bossert,
gibt es folgende Begriffe:
Ein Signal $s(t)$ heißt

    - gerade, wenn $s(t)=s(-t)$ (für alle t)
    - ungerade, wenn $s(t)=-s(-t)$ (für alle t)
    - linksseitig, wenn es ein [mm] $t_0$ [/mm] mit $s(t)=0$ für alle $t > [mm] t_0$ [/mm] gibt (jedenfalls
      lese ich das so, die Def. im Buch ist etwas *knapp*)
    - rechtsseitig, wenn es ein [mm] $t_0$ [/mm] mit $s(t)=0$ für alle $t < [mm] t_0$ [/mm] gibt
    - zweiseitig, wenn weder links- noch rechtsseitig
    - kausal, wenn $s(t)=0$ für alle $t < 0$
    - antikausal, wenn $s(t)=0$ für alle $t > 0$

Nun ist die Impulsfolge definiert als

    [mm] $\delta[0]=1$ [/mm] und [mm] $\delta[k]=0$ [/mm] für $k [mm] \not=0$. [/mm]

Im Buch steht in Aufgabe 2.1 die Frage, welche Eigenschaften diese Impulsfolge
hat; was mir relativ trivial erschien (bis darauf, dass ich erst den Denkfehler
hatte und nicht beachtet habe, dass ungerade Funktionen ja durch den
Ursprung gehen müssen):
Die Funktion ist

    - gerade (nicht ungerade, weil [mm] $\delta[0]=\delta[-0]=1 \not=-1=-\delta[0]$); [/mm]
    - linksseitig (denn für alle $k > [mm] 0=k_0$ [/mm] ist [mm] $\delta[k]=0$) [/mm]
    - rechtsseitig (für $k < [mm] 0=k_0$ [/mm] ist [mm] $\delta[k]=0$) [/mm]
      (damit NICHT zweiseitig)
    - kausal (siehe Begründung für rechtsseitig)
    - antikausal (siehe Begründung für linksseitig)

Bei der Musterlösung wird aber nur gerade und kausal erwähnt. Wieso
werden die anderen Eigenschaften hier nicht erwähnt? Habe ich einen
Denkfehler, oder wurde da einfach ein wenig *geschlampt*?

Bei etwa "linksseitig" verstehe ich ja noch, dass ich eventuell die Definition
des Buches falsch interpretiert haben könnte, und die bei diesem Begriff
vielleicht gerne auch gefordert hätten, dass es kein $r [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass die
Einschränkung des Signals auf [mm] $(-\infty,r)$ [/mm] die dortige Nullfunktion ergibt.
Aber dass der Impuls oben offenbar sowohl kausal als auch antikausal ist,
und wieso das nicht erwähnt wird, finde ich rätselhaft.

Eure Meinungen? Übersehe ich da etwas?

Gruß,
  Marcel

        
Bezug
Signal- und Systemtheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Do 19.03.2015
Autor: Infinit

Hallo Marcel,
ich befürchte, da wurde wirklich etwas geschlampt bzw. Begriffe zusammengeworfen, die meines Erachtens so gar nicht zusammengehören.
Das mit der geraden Funktion können wir beide ja noch nachvollziehen, bei der Kausalität steige ich jedoch aus. Eine Causa sollte, wie der Name bereits sagt, einen Grund, eine Quelle mit einschließen und das ist natürlich bei Impulsantworten der Fall. Hier spricht man von kausalen bzw. nichtkausalen Systemen, als Charakterisierung für ein Signal macht dies meines Erachtens keinen großen Sinn, wenn nicht noch irgendwo etwas speziell definiert wurde.
Denke an die Impulsantwort eines idealen Tiefpasses, ein schönes Beispiel für ein nichtkausales System. Genauso kann ich natürlich definieren, dass ein Signal dass für [mm] t < 0 [/mm] den Wert Null besitzt, ein kausales Signal ist, glücklich bin ich aber als E-Techniker über eine derartige Definition nicht.
Der langen Rede kurzer Sinn: Bei den von Dir genannten Definitionen und bei der Betrachtung des zugegebenermaßen etwas pathologischen Falles eines Dirac-Stoßes müsste antikausal auch gelten, da gebe ich Dir recht. Du siehst aber selbst schon, welche Begriffsschwierigkeiten bei solchen Definitionen auftreten können.
Viele Grüße,
Infinit 

Bezug
                
Bezug
Signal- und Systemtheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Do 19.03.2015
Autor: Marcel

Hallo Infinit,

> Hallo Marcel,
>  ich befürchte, da wurde wirklich etwas geschlampt bzw.
> Begriffe zusammengeworfen, die meines Erachtens so gar
> nicht zusammengehören.
>  Das mit der geraden Funktion können wir beide ja noch
> nachvollziehen, bei der Kausalität steige ich jedoch aus.
> Eine Causa sollte, wie der Name bereits sagt, einen Grund,
> eine Quelle mit einschließen und das ist natürlich bei
> Impulsantworten der Fall. Hier spricht man von kausalen
> bzw. nichtkausalen Systemen, als Charakterisierung für ein
> Signal macht dies meines Erachtens keinen großen Sinn,
> wenn nicht noch irgendwo etwas speziell definiert wurde.
>  Denke an die Impulsantwort eines idealen Tiefpasses, ein
> schönes Beispiel für ein nichtkausales System. Genauso
> kann ich natürlich definieren, dass ein Signal dass für [mm]t < 0[/mm]
> den Wert Null besitzt, ein kausales Signal ist, glücklich
> bin ich aber als E-Techniker über eine derartige
> Definition nicht.
>  Der langen Rede kurzer Sinn: Bei den von Dir genannten
> Definitionen und bei der Betrachtung des zugegebenermaßen
> etwas pathologischen Falles eines Dirac-Stoßes müsste
> antikausal auch gelten, da gebe ich Dir recht. Du siehst
> aber selbst schon, welche Begriffsschwierigkeiten bei
> solchen Definitionen auftreten können.

Danke für die Antwort. Ich habe ja mit solchen Definitionen keine Probleme,
aber Musterlösungen, die nicht zu den Definitionen passen, verwirren mich.

An anderer Stelle habe ich gerade gesehen, dass in dem Buch Orthogonalität
mithilfe der Kreuzkorrelation berechnet wird. Damit zeigen sie dann tatsächlich
ja noch viel mehr, aber irgendwo sollte auch stehen, dass die Auswertung
der Kreuzkorrelationsfunktion an der Stelle 0 das betrachtete Skalarprodukt
zwischen den beiden Funktionen ist. (Eigentlich sollte man, wenn man von
Orthogonalität spricht, immer dazusagen, bzgl. welchem Skalarprodukt
man das meint.)

Ich finde das Buch eigentlich sehr gut geschrieben, hoffentlich fallen mir
nicht zu viele Patzer sonst auf ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
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