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| Aufgabe | Sei A eine hermitsche Matrix mit Signatur (p,q). Sei m>0 eine gerade zahl,die Signatur von [mm] A^{m} [/mm] ist:
a)aus den Voraussetzungen nicht herzuleiten
b) (p,q)
c) (p+q,0)
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hallo,
unsere vermutung ist die antwort c).
Da m gerade sein muss, werden doch die negativen einträge auf der diagonalen alle positiv.daher entspricht die anzahl der positiven einträge
p+q.
stimmt das so?
wäre nett , wenn jmd die antwort bewerten könnte...
Dannkkkkeeeschhhöönnnnn!!!
lg gp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Guido, hallo Peter,
> Sei A eine hermitsche Matrix mit Signatur (p,q). Sei m>0
> eine gerade zahl,die Signatur von [mm]A^{m}[/mm] ist:
>
> a)aus den Voraussetzungen nicht herzuleiten
> b) (p,q)
> c) (p+q,0)
>
>
>
> hallo,
>
> unsere vermutung ist die antwort c). ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Da m gerade sein muss, werden doch die negativen einträge
> auf der diagonalen alle positiv.daher entspricht die anzahl
> der positiven einträge
> p+q. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") würde ich auch sagen
> stimmt das so?
>
> wäre nett , wenn jmd die antwort bewerten könnte...
>
> Dannkkkkeeeschhhöönnnnn!!!
>
> lg gp
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
eure Begründung ist ok, vllt. kann man sích das auch so überlegen:
Wenn [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A ist und [mm] v\ne [/mm] 0 Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] , so gilt
[mm] $\lambda v=Av\Rightarrow A^2v=A(\lambda v)=\lambda (Av)=\lambda^2 [/mm] v$
also wird ein negativer Eigenwert bei Quadrierung positiv.
Das klappt auch bei allen höheren geraden Potenzen
So in der Art - ist nicht besonders genau, aber als Denkanstoß
LG
schachuzipus
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hallo!
wenn mann nun die angabe der aufgabe auf ein A^-m bezieht.....dann kommt doch wieder eine Signatur mit (p,q) raus oder?
weil sich mit ungeraden Potenzen immer wieder eine transponierte und da ja hermitisch, eine genau gleiche matrix zu A raus.
oder?
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Hallo flashegordon,
ich denke ja, denn wenn du dir ne Diagonalmatrix mit den positiven EW [mm] \lambda_1,....,\lambda_p [/mm] und den negativen EW [mm] \mu_1,....,\mu_q [/mm] denkst, so hat die Inverse dazu doch die Einträge [mm] \frac{1}{\lambda_1},....,\frac{1}{\lambda_p},\frac{1}{\mu_1},....,\frac{1}{\mu_q}
[/mm]
und die haben dasselbe VZ und ändern es dann bei ungeradzahliger Potenzierung auch nicht.
Also bleibt die Signatur gleich
LG
schachuzipus
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