Signum einer Permutation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich komme mit der Defintion des Signums einer Permutation nicht so ganz klar.
Die Defintion ist ja: [mm] $sgn:S_n \to \{\pm 1\}$ [/mm] mit [mm] $\sigma \mapsto \produkt_{1 \le i
Ich weiß nicht, wie ich den Laufindex des Produktes lesen soll.
Gehen i und j beide von 1 bis n, wobei j immer größer sein muss als i (das wäre ja dann i von 1 bis n-1 und j von 2 bis n)?
Ich habe hier auch ein zwei Beispiele, ich schreib grad mal nur eins auf:
$n=2, [mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } \Rightarrow sgn(\sigma)=\bruch{2-1}{1-2}=-1$
[/mm]
Dieses Beipsiel kann ich nicht nachvollziehen, denn im Nenner steht ja 1-2 was in der Defintion dem j-i entspricht.
Aber dann wäre j ja kleiner als i (j=1, i=2) was ja der Laufindexangabe unter dem Produkt widerspricht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Könnt ihr mir sagen, wie ich den Laufindex lesen muss?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mo 02.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Die Defintion ist ja: [mm]sgn:S_n \to \{\pm 1\}[/mm] mit [mm]\sigma \mapsto \produkt_{1 \le i
>
> Ich weiß nicht, wie ich den Laufindex des Produktes lesen
> soll.
>
> Gehen i und j beide von 1 bis n, wobei j immer größer
> sein muss als i (das wäre ja dann i von 1 bis n-1 und j
> von 2 bis n)?
>
> Ich habe hier auch ein zwei Beispiele, ich schreib grad mal
> nur eins auf:
>
> [mm]n=2, \sigma=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } \Rightarrow sgn(\sigma)=\bruch{2-1}{1-2}=-1[/mm]
>
> Dieses Beipsiel kann ich nicht nachvollziehen, denn im
> Nenner steht ja 1-2 was in der Defintion dem j-i
> entspricht.
Hier ist i = 1, j = n = 2, [mm] \sigma(1) [/mm] = 2 und [mm] \sigma(2) [/mm] = 1; damit ist doch alles paletti.
i und j durchlaufen einfach alle Möglichkeiten, für die die Ungleichungen richtig sind: Für j = 1 gibt es kein i, für j = 2 ist i = 1 usw. bis j = n und i = 1, 2, ... , (n-1)
Das sollte kein Hexenwerk sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Dieter!
Danke für deine schnelle Antwort.
> Hier ist i = 1, j = n = 2, [mm]\sigma(1)[/mm] = 2 und [mm]\sigma(2)[/mm] = 1;
> damit ist doch alles paletti.
>
> i und j durchlaufen einfach alle Möglichkeiten, für die
> die Ungleichungen richtig sind: Für j = 1 gibt es kein i,
> für j = 2 ist i = 1 usw. bis j = n und i = 1, 2, ... ,
> (n-1)
Ok, dann war meine Vermutung ja richtig.
Aber irgendwie komme ich dann auf einen anderen Bruch, glaub ich.
[mm] \produkt_{1 \le i
Kommt zwar im Endeffekt aufs selbe raus, aber welcher aus der Formel errechnete Bruch ist der "richtige"?
[mm] \bruch{1-2}{2-1}, [/mm] den ich grad ausgerechnet habe, oder [mm] \bruch{2-1}{1-2} [/mm] wie er in meiner Vorlesungsmitschrift steht?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Nadine!
> Ok, dann war meine Vermutung ja richtig.
>
> Aber irgendwie komme ich dann auf einen anderen Bruch,
> glaub ich.
>
> [mm]\produkt_{1 \le i
> wäre doch dann
> [mm]\bruch{\sigma(2)-\sigma(1)}{2-1}=\bruch{1-2}{2-1}[/mm]
... = -1; Transpositionen haben immer die Signatur -1.
> Kommt zwar im Endeffekt aufs selbe raus, aber welcher aus
> der Formel errechnete Bruch ist der "richtige"?
>
> [mm]\bruch{1-2}{2-1},[/mm] den ich grad ausgerechnet habe,
So isset richtich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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