Signum von Permutationen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Zu berechnen ist das Signum der Permutation [mm] \sigma=(132)\in S_{6}. [/mm] |
Hallo alle,
ich weiß, wie man das Sigma von Permutationen, habe aber einige Fragen, wo ich mir unsicher bin.
Wenn die Permutation [mm] \sigma=(132) [/mm] ist, weiß ich, dass die 4,5,6 nicht vertauscht wurden, somit könnte die Abbildung zur Permutation wie folgt aussehen:
a) [mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 } [/mm] oder b) [mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 & 6 }
[/mm]
Meine Frage ist nun: kann nur a) oder b) in Frage kommen, um die jeweiligen Fehlstellungen zu berechnen oder MUSS ich von beiden die Fehlstellungen berechnen?
Meine Rechnung sah wie folgt aus:
zu a):
1) (1,2) [mm] \sigma(1)=3>\sigma(2)=1
[/mm]
2) (1,3) [mm] \sigma(1)=3>\sigma(3)=2
[/mm]
zu b):
1) (1,3) [mm] \sigma(1)=2>\sigma(3)=1
[/mm]
2) (2,3) [mm] \sigma(2)=3>\sigma(3)=1
[/mm]
Meine Frage ist nun: Ist [mm] sign(\sigma)=(-1)^2 [/mm] (bzgl a oder b) oder [mm] sign(\sigma)=(-1)^4 [/mm] (bzgl a und b)?
Vielen Dank im Voraus, viele Grüße, Paula
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Hallo paula_88,
> Zu berechnen ist das Signum der Permutation [mm]\sigma=(132)\in S_{6}.[/mm]
>
> Hallo alle,
> ich weiß, wie man das Sigma von Permutationen, habe aber
> einige Fragen, wo ich mir unsicher bin.
Was bedeutet dieser Satz(?) ?
>
> Wenn die Permutation [mm]\sigma=(132)[/mm] ist, weiß ich, dass die
> 4,5,6 nicht vertauscht wurden, somit könnte die Abbildung
> zur Permutation wie folgt aussehen:
[mm]\sigma=(132)[/mm] heißt doch: [mm]1\to3, 3\to 2, 2\to 1[/mm] , Rest fix, also ist einzig a) richtig!
>
> a) [mm]\sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 }[/mm]
> oder b) [mm]\sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 3 & 1 & 4 & 5 & 6 }[/mm]
>
> Meine Frage ist nun: kann nur a) oder b) in Frage kommen,
> um die jeweiligen Fehlstellungen zu berechnen oder MUSS ich
> von beiden die Fehlstellungen berechnen?
Nur von a)
>
> Meine Rechnung sah wie folgt aus:
> zu a):
> 1) (1,2) [mm]\sigma(1)=3>\sigma(2)=1[/mm]
> 2) (1,3) [mm]\sigma(1)=3>\sigma(3)=2[/mm]
> zu b):
> 1) (1,3) [mm]\sigma(1)=2>\sigma(3)=1[/mm]
> 2) (2,3) [mm]\sigma(2)=3>\sigma(3)=1[/mm]
>
> Meine Frage ist nun: Ist [mm]sign(\sigma)=(-1)^2[/mm] (bzgl a oder
> b) oder [mm]sign(\sigma)=(-1)^4[/mm] (bzgl a und b)?
Ich komme (für a)) mit der Formel [mm]\operatorname{sgn}(\sigma)=\prod\limits_{1\le i
>
> Vielen Dank im Voraus, viele Grüße, Paula
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich wusste nicht, dass $ [mm] \sigma=(132) [/mm] $ $ [mm] 1\to3, 3\to [/mm] 2, [mm] 2\to [/mm] 1 $ heißt, dann ist alles klar.
Nur um sicherzustellen, dass ich richtig liege:
Nehmen wir eine weitere Aufgabe:
Das Signum soll für folgende Permutation berechnet werden:
[mm] \sigma=(5163)
[/mm]
Das heißt nun, dass die 5->1, 1->6, 6->3, und 3->5,
somit werden die Fehlstellen folgender Abbildung berechnet:
[mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 5 & 4 & 1 & 3 } [/mm] ???
Wie die Fehlstellen zu berechnen sind weiß ich, will nur sicher gehen, dass ich die richtige Ausgangs-Abbildung bilde 
Viele Grüße, Paula.
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jupp, stimmt ;)
noch als Tipp:
Wenn du deine Permutation bereits in der Zykelschreibweise (so heißt das mit den vielen Zahlen in Klammern^^) hast, lässt sich das Signum viel schneller und leichter berechnen als mit Fehlständen.
Es ist nämlich:
[mm]sign(\pi) = (-1)^{n-k}[/mm] wobei n die Anzahl der Elemente in den Zykeln ist und k die Anzahl der Zykel.
Also zum Beispiel:
sign( (1,3,4)(2,5,7) ) = [mm](-1)^{6-2} = (-1)^4 = -1[/mm]
in deinem Fall wäre also sign( (5163) ) = [mm](-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1[/mm]
Wenn ihr das noch nicht hattet würde ich dir empfehlen mal zu fragen ob es noch kommt und ob du es sonst benutzen darfst, denn wie gesagt, bei Fehlständen rechnet man sich ja doof.^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Alles klar, guter Tipp, vielen Dank, da hake ich mal nach
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