Sind Polyeder und Kugel ident < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Do 08.07.2010 | | Autor: | Monade |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aus Wikipedia habe ich bei Kugel:
"Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist"
Wenn wir jetzt einen festen Punkt nehmen und davon drei Kanten einer Länge r weggehen , dann können wir ein Tetrader umschreiben, welches obige Bedingung genauso gut beschreibt. Alle Vier Punkte eines Tetraders sind das gleiche r voneinander und von einem festen Punkt entfernt.
Könnte man das so sehen?
Kann ich dann behaupten, wenn eine Kugel die Lösung einer Frage beschreibt, dann gilt das auch für ein Tetrader?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Do 08.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle anderen Punkte haben doch nicht den Abstand r von der Mitte? mit der Def. hast du wirklich nur ne Kugel, alle regelmäßigen Polyeder haben zwar punkte auf der kugel, sind aber nicht der GO ALLER punkte mit Abstand r von M.
dass der Tetraeder und andere polyeder topologisch einer kugel gleich sind hat damit nix zu tun.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Do 08.07.2010 | | Autor: | Monade |
Ja, wenn wir von einem Mittelpunkt und einem r ausgehen und das dann 1:1 auf den Tetraeder ummünzen, dann stimmts nicht mit r.
Ich denke nicht an verschachtelte platonische Körper.
Jetzt mal anders:
Nehmen wir eine Kugel mit M und r und halten dann einen Punkt auf der Oberfläche fest. Jetzt löschen wir die Kugel weg und machen drei Strahlen der Länge r die ebend einen Tetrader bilden. dann haben wir ein Tetrader mit der Kantenlänge r der die Bedingung erfüllt "alle Punkte sind von einem Punkt M r entfernt"
Nach meiner Idee ist der Tetraeder der Kugel "algebraisch" ebenbürtig.
(Sie sagten "topologisch", kann ich mich da wo schlau machen ?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Do 08.07.2010 | | Autor: | Monade |
ich gebs zu, alle Eckpunkte eines Tetraeders verhalten sich wie eine Kugel, da sie alle r voneinander entfernt sind.
Die Punkte der Strcke Mr gehören ja auch nicht zur Kugeloberfläche ?
Wir könnten die vier Punkte ja rotieren lassen, dann hätten wir auch eine Kugel, aber eben eine, die nicht aus Mr besteht, sondern eine, die durch 4 gleich langen Strecken beschrieben wurde. Das gleiche, aber nicht das selbe 
Bis morgen.
M
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Hallo nochmal,
> ich gebs zu, alle Eckpunkte eines Tetraeders verhalten sich
> wie eine Kugel, da sie alle r voneinander entfernt sind.
> Die Punkte der Strcke Mr gehören ja auch nicht zur
> Kugeloberfläche ?
Netter Rettungsversuch. Die Strecke [mm] \overline{MR} [/mm] liegt - mit Ausnahme eines Endpunkts - vollständig im Innern der Kugel. Diese Punkte sind hier ja nicht gemeint. Beim Tetraeder (Pentagondodekaeder, Würfel...) sind aber nur die Eckpunkte in der ausgezeichneten Lage, den Abstand r vom Mittelpunkt zu haben. Alle anderen Punkte auf ihrer Oberfläche liegen näher daran.
> Wir könnten die vier Punkte ja rotieren lassen, dann
> hätten wir auch eine Kugel, aber eben eine, die nicht aus
> Mr besteht, sondern eine, die durch 4 gleich langen
> Strecken beschrieben wurde. Das gleiche, aber nicht das
> selbe
Na, meinetwegen. Warum sollte eine Kugel nicht von den rotierenden Eckpunkten eines Tetraeders (Oktaeders, Ikosaeders...) erzeugt werden? Aber nebenbei: dazu genügt doch ein einziger Pukt im Abstand r.
> Bis morgen.
> M
Ja, gute Nacht.
Lass Dich übrigens nicht entmutigen. Wir wissen ja noch nicht, wohin Du mit dieser Idee willst. Vielleicht ist sie ja trotzdem fruchtbar. Im Moment liegt sie nur nicht im Rahmen der üblichen Mathematik, deren Konventionen seit Jahrhunderten verfeinert werden und sich bewährt haben. Dennoch sind sie nicht selbstverständlich und nicht unumstößlich, sondern eben oft Übereinkunft. Das gilt z.B. für die Auswahl der grundlegenden Axiome. Ihre Zahl dürfte kaum noch zu verringern sein, aber man könnte andere auswählen, die das gleiche leisten.
Vielleicht geht es Dir aber um etwas anderes. Worauf willst Du denn hinaus?
In der realen Repräsentation hat sich die Kugel doch bewährt. Ich möchte z.B. kein Billard mit Tetraedern spielen... Da zeigt sich auch, warum Deine Idee so noch nicht "aufgeht".
Bis morgen also,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Monade |
Hallo Reverend,
Oh, ich bin dir sehr dankbar für deine letzten Worte
Du hast Recht, bei einer Kugel haben alle Punkte der gesamten Oberfläche den Abstand r. Beim Tetraeder gilt das nur für die Eckpunkte.
Probieren wir was anderes:
Nehmen wir an, ich gebe dir vier Punkte im Raum und frage dich, welchem Körper die gehören.
Wenn jetzt drei Punkte die Abstände a,b,c haben, aber alle den Abstand r zu einem vierten Punkt, dann wirst du sagen, es handelt sich um eine Kugel.
Wenn jetzt aber der seltene Fall eintritt, dass alle vier Punkte den Abstand r haben, behaupte ich, es ist ein Tetraeder, du sagst, es sei eine Kugel.
Beide Lösungen sind richtig.
Jetzt haben wir allerdings ein Problem beim Tetraeder, weil wir nicht wissen, welcher jetzt der Mittelpunkt M sei, um den sich alles dreht. daher gibt es eben nicht EINEN ausgezeichneten Punkt M wie bei der Kugel und einen Radius r, alle Eckpunkte des Tetraedes zusammen definieren die Kugel.
Wenn wir jetzt im Tetraeder ABCD den Punkt D festhalten und ABC drehen, erhalten wir eine Kugel. Das selbe gilt natürlich für A und B und C.
Würde ich jetz mit meiner "Tetraeder Brille" auf deine Kugel Mr blicken,. sähe ich nur n Tetraedra, die um einen Eckpunkt rotieren
die Grundbedingung beider Konstrukte lautet : Alle möglichen Punkte im R3 mit Abstand Strecke r
Würde ich also behaupten, die Zahl 9 sei das Produkt eines Quadrates, würdest du zugeben, dass die Ursache die Zahlen 3 und -3 gewesen sein könnten.
Das selbe mache ich jetzt mit meiner "Brille":
"Alles was ich mit der Strecke r konstrieren kann, könnten sowohle eine Kugel sein als auch ein Tetraeder."
Vielleicht stellst du jetzt mal eine Frage, dass ich es noch besser formulieren kann. Was hältst du davon ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auf einer kugel liegen unendlich viele Punkte, die jeweils einen konkreten tetraeder bilden. damit hast du recht. auf einer Kugel liegen auch unendlich viele Punkte die einen Würfel bilden. und unendlich viele punkte die eckpunkte von Ikosaedern sind. und unendlich viele Punkte von anderen Körpern, die krumm und schief sind.
Jeder einzelne dieser körper ist keine Kugel, sie haben alle gemeinsam, dass sie eine Umkugel haben, die durch alle ihre ecken geht.
das Tetraeder hat auch eine Innkugel, also auch 4 punkte auf den seitenflächen haben denselben Abstand zu einem M.
Ein regelmßiges Tetraeder kann man genau wie eine Kugel durch seine Eigenschaften hier 4 gleichseitige Dreiecke beschreiben.
wenn du mir die vier Ecken meines Zimmers, von einem Punkt aus zeigst, der von allen 4 gleich weit entfernt ist, dann sag ich NICHT ich wohn in einer Kugel! Das würd ich erst, wenn ALLE punkte des Zimmers von einem Pkt gleich weit entfernt werden.
in der Def. von Kugel ist die Rede von ALLEN PUNKTEN IM [mm] R^3
[/mm]
Du beschreibst, wie man durch Drehung eines Tetraeders in mehreren richtungen eine Kugel erzeugen kann. dazu braucht es aber keinen Tetraeder, sondern nur einen einzigen Punkt im [mm] R^3 [/mm] der entsprechend um M bewegt wird, in endlicher Zeit bedeckt er dabei einen endlichen Teil der kugel. im [mm] R^2 [/mm] wre deine Beh. dass jedes Dreieck ein Kreis ist, denn jedes Dreieck hat einen Umkreismittelpunkt. da kannst du wenigstens deinen Kreis noch durch kontinuierliches drehen des Dreiecks um seinen Mittelpunkt erzeugen.
Kannst du mal sagen, worauf du mit deinen argumenten zielst?
denn dass ein Tetraeder nach Def von "Alle pkte des [mm] R^3..." [/mm] nicht erfüllt hast du ja eingesehen.
topologisch gleich sind übrigens alle Körper die man ohne "Löcher" zu machen ineinander überführen kann. Stell sie dir aus Gummi vor, dann kann man aus nem Tetrader ne Kugel machen, aus nem Kreis nen Quadrat, aber ein Donut (Schwimmring) kann man nicht zu ner Kugel verformen.
topologisch sind alle polyeder Kugeln. aber nicht geometrisch.
Die def. der kugel hat übrigens zur Folge, dass sie geometrisch in sich übergeht, egal an welcher ebene durch M man sie spiegelt. auch das stimmt für den Tetraeder nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Monade |
Macht es wirklich einen grossen Unterschied, ob ich ALLE Punkte mit Abstand r von einem Mittelpunkt M meine oder ob ich ALLE Quadrupel ABCD die ich mal Tetrader nenne mit Seitenlänge r zur Kugel mache?
Alle anderen Polyeder haben das Problem, dass sich zwischen ihren Eckpunkten Strecken ungleich r konstruieren lassen und wir wollen ja nur von einer Strecke r (und einem Punkt M) ausgehen. Ausserdem besitzen sie "überflüssige" Information, im R3 reichen 4 Punkte mit Abstand r 
ok, weiter gehts so :
Wenn wir jetzt einen dieser möglichen Tetraeder mal so drehen, dass eine Fläche in die Zeichenebene kommt, die Spitze wird dann der Dreiecksmittelpunkt vor (oder hinter) der Ebene.
Jetzt haben wir ja gesagt, wir wollen eine Kugeleigenschaft abbilden, haben aber nur 4 Punkte, die aber immer zusammen gehören.
Drehen wir nun die Dreiecksfläche in der Zeichenebene bekommen wir einen Kreis.
Nun wollen wir die Drehung der Dreiecksfläche auf eine Achse x (in der Physik t) und einen Wert y abbilden. Da wir aber nicht vom Kreis (Mr) sprechen, sondern drei Punkte (ein Quadrupel) haben müssen wir alle drei Punkte gemeinsam auf die y Achse abbilden. Ich mache das mal mit Addition:
Nehmen wir mal an, wir wollen den Abstand der Punkte zur x-Achse messen, dann würden wir wohl vom Sinus des Winkels phi sprechen.
Beim Kreis bekommen wir da eine schöne Sinuskurve auf die x-Achse.
Ich mach das für ein Tetraeder mal vor :
f(x) = sin(x) + sin (x+2/3pi) + sin (x+4/3 pi)
(3 Punkte sind um 120 Grad verdreht)
"Seltsamer Weise" bekommen wir als Ergebnis für x [0,2pi] immer 0
Darf ich jetzt mal einen (den) Bogen schlagen :
Mit Hilfe eines Kreises, den wir aus einer Kugel gewinnen, konstruieren wir eine Sinuskurve. Diese erfüllt folgende Differentialgleichung :
x [2Punkte] + w^2x = 0
(Harmonischer Oszillator)
Wenn wir also glauben, eine Lösung x=0 dürfen wir vernachlässigen, kann ich behaupten, wir übersehen eine Kleinigkeit, die für uns nur so aussieht, als würde nichts passieren. Es könnte auch sein, es "dreht" sich ein Tetraeder, der einer Kugel ebenbürtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du endlich mal sagen, was du mit der diskussion wisst.
Ich hab erst jetzt kapiert, dass ein Punkt deine Tetraeders der mittelpkt sein soll. zur Kugel besser Sphäre um von der vollkugel zu unterscheiden, gehört M NICHT dazu
Geht es dir darum dass wenn du die 3 Punkte eines T. um den 4 ten punkt rumwirbeln lässt, und die seiten und Kanten des T. gar nicht betrachtest, dass dann wenn du das rumdrehhst die punkte immer auf derselben Kugel liegen? Aber jetzt hast du ja kein Tetraeder, das ne geschlossene oberfläche im [mm] R^3 [/mm] ist, sondrn du betrachtest einfach 3 punkte und nen 4 ten der dann M ist.
Ich versteh überhaupt nicht, auf was das rauslauen soll. irgen ne Idee was du mit dem was du dir da denkst passieren soll, oder warum du nicht statt der 3 punkte einen umd M oder 2 und M nimmst versteh ich nicht.
Sag also wirklich mal- was du eigentlich willst!
jetzt kommst du noch mit der def von sinus als Projektion der Kreisbewegung und der Dgl mit der man den sin auch definieren kann, diese Dgl tritt auch beim harmonischen osz. auf , aber was soll das?
die lösung x(t)=0 der Dgl, die zu den Anfangsbed, x(0)=0,x'(0)=0 gehört "vernachlässigt" niemand, sie ist nur einfach sehr uninteressant denn die fkt f(x)=0 ist zwar ne wunderbar stetige und beliebig oft differenzierbare fkt. Aber doch wohl recht langweilig. allerdings gehört sie zu den Lösungen der Dgl. denn sonst wäre der satz nicht richtig, dass es zu jedem Anfangswert ne eindeutige Lösung gibt.
also um was geht es nun wirklich?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Sa 10.07.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo und guten Abend, gut Nacht...
Nur mal zwischendurch: ich lese noch interessiert mit.
Leduarts Fragen treffen aber genau mein Interesse: wo willst Du eigentlich hin? Um der Rechthaberei willen ist die Frage nicht ergiebig genug, da würdest Du womöglich auch "verlieren". Die Grundidee kann ich noch nachverfolgen - doch was ist ihr Ziel?
Vielleicht ist es die Topologie, mit der Du offenbar nicht vertraut bist (ich übrigens auch nur sehr sehr mäßig), aber vielleicht auch etwas anderes. Jedenfalls ist die einzige Disziplin, in der Sphäre und Tetraeder einander äquivalent sind - und die ich kenne -, eben die Topologie. Bist Du vielleicht auf der Spur von Perelman, dem genialen Mathematiker, der sich offenbar aus Geld nichts macht?
Das wiederum ist ein anderes Thema, und ich will gar nicht ablenken. Mich interessiert wirklich, warum Du das alles fragst.
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 11.07.2010 | | Autor: | Monade |
Hallo wackere Mitstreiter!
ich bin ein wenig verunsichert, darob eurer Ungeduld.
Meine These lautet : ein Tetraeder ist eine Lösung der Differentialgleichung einer Harmonischen Schwingung, weil eine Kugel, aus der die Lösung der Diffgl mif f=sin(x) kommt vom "Konzept" her (Punkt mit Anderem Punkt = Abstand r -> nimm alle Punkte, die diese Bedingung erfüllen) mit dem "Konzept" Tetraeder gleichwertig ist.
Also es stimmt, aus Geld mache ich mir nichts, aber mein Vermieter!
Wenn ihr mich jetzt aber als verrückt abstempeln würdet, das würde ich schon schade finden, daher versuche ich jetzt nochmal eine Frage zu formulieren :
Zeige, dass Tetrader und Kugel im (komplexen?) Raum aufgrund der Einzigen Randbedingung "Abstand aller Punkte = r" gleichwertig sind und eine Lösung der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators sind.
Also , entweder ihr habt Lust das zu probieren, oder ihr erklärt mich jetzt für verrückt.
Ich kann das leider nicht, weil ich weder weiss, wie ich einen Tetraeder im komplexen abbilden soll , geschweige denn, wie das Konzept sin(x), das aus der Kugel mit dem Radius r eine Lösung macht im Tetraeder mit der "Kantenlänge r" versteckt ist.
Mein Ansatz wäre ja gewesen zu behaupten, der Tetraeder besteht (im 2D) aus drei um 120 Grad gedrehter Punkte und das wäre dann die Null Lösung.
Ja, in unserer "Kraftvollen" Welt voll von actio und reactio ist uns die Null als Lösung natürlich suspekt. Wenn wir aber eine Lösung hätten, wo die Gravitationskraft Null wird, dann wäre das doch sehr interessant. (das wollte ich jetzt aber nicht behaupten
Was ich aber behaupten kann, ist dass es bezüglich der Photonen doch eine Frage gibt, warum diese als "Welle" und als "Teilchen" auftreten sollten. (könnte das "Teilchen" nicht entlang der 0 der x-Achse "geflogen" sein ?)....
Es ist ja nur eine Idee, ich will damit wirklich niemandem einen Schaden zufügen oder euch ärgern und die Zeit stehlen!
Ich habe nur gedacht, vielleicht finde ich jemanden, der das mal "durchrechnen" will....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 11.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du jetzt schreibst, ist wirklich etwas "verrückt" was aber nicht geistig nich gesund bedeutet.
Eine Kugel. bzw ein Kreis, haben erstmal nichts mit der Dgl eines Harmonischen Oszillators zu tun, der wiederum nichts mit Gravitation.
1. ein harmon Oszillator folgt dem Kraftgesetz F=-k*x
daraus folgt x''(t)=-k/m*x
die Lösung dieser Dgl. ist eine Funktion f(x), falls k/m=1 ist die allgemeine Lösung der Dgl x(t)=A*sin(t)+B*cos(t)
Wenn man die Anfangsbed. vorgibt, also [mm] x(0)=s_0 [/mm] und [mm] x'(0)=v_0
[/mm]
kann man daraus A und B bestimmen.
insbesndere ist die Lösung für [mm] x_0=0,v_0=0 [/mm] A=B=0 also x(t)=0
was physikalisch bedeutet, dass sich das Objekt, um das es sich handel, sich nicht bewegt, sondern immer am punkt x=0 bleibt. Was es bedeuten soll, dass es sich "entlang der 0 der x-Achse" bewegt kann man nicht deuten.
wenn du eine x-Achse so legst, dass du ruhig an ihrem Nullpunkt sitzt, dann wird deine Bewegung als x(t)=0 beschrieben.
2. Beschreibung eines Kreises in der Ebene.
Wenn man einen Punkt (x,y) um den Punkt (0,0) im abstand r LE mit der Geschwindigkeit v=r m/s kreisen lässt, kann man seinen Ort in x,y koordinaten zu jedem Zeitpunkt t angeben, wenn man weiss, wo er im Zeitpkt t=0 war.für x(0)=r y(0)=0
erhlt man dann für alle Zeiten den Ort des Punktes
(rcos(t),rsin(t)) aber das ist kein harmon. Oszillator, nur wenn man nur die x oder nur die y- Richtung betrachtet, man nennt das die Projektion in x -Richtung, beschreibt der Punkt dieselbe bewegung wie ein harm. Oszillator.
In dem Sinn ist eine Kreisbewegung oder ein Kreis (oder gar Kugel) keine lösung der dgl.
Dass der rotierende punkt, ob er die ecke eines Dreiecks, oderein einzelner Punkt ist, immer wieder die x Koordinate x=0 erreicht hat dabei nichts mit der lösung x(t)=0 zu tun.
Weder ein Kreis, noch ein sich bewegender Punkt eines Tetraeders oder Dreiecks erfüllt dabei die Dgl eines harmon. Oszillators.
Jetzt zu deiner Miskonzeption von Photonen:
Das "Teilchen" Photon fliegt in einer vorgegebenen Richtung, das, was grade von diesem * in deinem auge ankam ist genau in der richtung vom Punkt zu deiner Pupille geflogen. Du kannst auch sagen, die EM- Welle die von dem Punkt ausging hat sich in dieser richtung ausgebreitet.
Diese "Welle- Teilchen" Beschreibung des photons (und elektrons usw.) verwirrt leider viele. Das Ding ist weder noch, sondern ein neuartiges !Quanten" Objekt. Wenn wir- von der klassischen makroskopischen Welt miterfahrbaren "begreifbaren" objekten her kommen bleibem uns, für etwas, was energie transportiert nur die Begriffe Welle und Teilchen. Unsere Experimente können "Teilcheneigenschaften" und Welleneigenschaften von Photonen fesstelen. mehr heisst dass Welle und Teilchen nicht. besser redet man einfach von Quanten als neuen Objekten, diegenau leider nur mit den mathematisch schwierigen Mitteln der Quantenmechanik oder noch schlimmer Quantenelektrodynamik wirklich zu beschreiben sind.
Also verabschiede dich von dem tetraeder = Kugel oder gleich Oszillator. Wenn dir allerdings das Bild was bringt, schadet es dir auch nix und macht dich nicht zum Verrückten.
Wenn du noch was willst, geh bitte Punkt für Punkt auf diesen und den vorigen postein. man hat nicht das Gefühl, dass du die wirklich aufgenommen hast.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Monade |
Hallo!
ok, die Frage ist beantwortet.
Ich fand halt den Gedanken irgendwie witzig, dass man aus einem r eine Kugel oder einen Tetrader machen kann. Wahrscheinlich kann man viele Differentialgleichungen in verschiedenen Raumgeometrien lösen, und interessante Einblicke gewinnen. Hat ja niemand gesagt, dass die Quanten den Raum in Kugeln sehen sollen (Sind Elektronen Kugelschalen ? hihi). Ich hoffe, dir hats auch Spass gemacht
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platonische Körper