Singuläre Werte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, nochmal bin ich es,
sind die singulären Werte von [mm] A^T [/mm] und A gleich, [mm] A\in \IR^{m,n}
[/mm]
Danke |
x
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 17.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Ich schätze mal, bald kommt wieder der Matux zur Antwort.
(wie immer bei meinen Fragen hier im Forum, leider)
Die Antwort kenne ich aber bereits, Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Sa 17.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo victory,
was meinst Du denn genau mit singulären Werten ?
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Sa 17.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi, na endlich jemand hat wenigstens was geschrieben.
Ich glaube bei den Mathematikern werden die Dinger etwas anders eingeführt, deswegen kennt die nicht jeder.
Jede Matrix kann man in ein Produkt Faktorisieren: [mm] A=U^T*S*V. [/mm] U,V sind orthogonal und S ist diagonal und enthält die Singularwerte eng. singular values.
Ich bin mir nun nicht sicher wie es im allgemeinen Fall ist, wenn die Matrix A nicht quadratisch ist. Dann kommen wohl unter umständen Nullen dazu bei den Sing.Werten. Oder?
Da für mich jedoch der Fall m==n relevant ist, ist es für micht nun nur noch eine theoretische frage.
bis dann
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Da das jetzt angesprochen hast, mache ich das mal nochmal als aktiv. Eine Bestätigung zu meiner Überlegung hätte ich doch noch gerne.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 17.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo victory,
im allgemeinen Fall ist die von Dir genannte Diagonalmatrix nicht definiert,
Du mußt dich bei bei der Betrachtung auf Endomorphismen beschränken.
Ist im konkreten Fall eine lineare Abbildung [mm] \IR^n-> \IR^n [/mm] durch eine orthogonale Matrix gegeben,
d.h. eine Matrix für die <F(v), F(w)> = <v,w> für alle v,w [mm] \in \IR^n [/mm] gilt, so ist die Matrix diagonalisierbar und es existiert eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Für die Eigenwerte ( singuläre Werte) ß gilt dann |ß|=1.
Im allgemeinen Fall , also F: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m [/mm] existiert eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] , [mm] \IR^m [/mm] , so daß die darstellende Matrix A besonders einfach ist.
Es gibt dann ein r [mm] \le [/mm] min(m,n) so daß [mm] a_{i i} [/mm] = 1, i [mm] \le [/mm] r und alle anderen Einträge = 0 sind .
MfG
Heiko
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Hi danke für die Antwort. Sie ist jedoch etwas rätselhaft. Habe ich es richtig verstanden dass Du hier unter Singulärwerten Eigenwerte verstehst. Wenn ja, dann sind es verschiedene Sachen. Singulär Werte -Zerlegung gibt's immer! Dies ist Fakt. Das weiß ich genau.
Wenn nicht, dann würde ich Dich bitten mir etwas mehr über deine Erklärung zu schreiben. Ich habe gleich im ersten Satz eine frage.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
singuläre Werte einer Matrix A sind alle Werte [mm] \sigma_i=\wurzel{\lambda_i} [/mm] mit [mm] \lambda_i\ne0 [/mm] ist Eigenwert der Matrix [mm] A^{T}A.
[/mm]
Das bedeutet, das die singulären Werte der Matrix [mm] A^T [/mm] sich aus den Eigenwerten der Matrix [mm] A*A^{T} [/mm] bestimmen.
Um nachzuweisen, dass die singulären Werte von A und [mm] A^T [/mm] gleich sind, muss man also zeigen, dass für die beiden Mengen
[mm] \Sigma_{A^{T}A}=\Sigma_{AA^{T}} [/mm] gilt, mit [mm] \Sigma_A=\{ \lambda | \lambda \mbox{ Av=\lambda v}\}
[/mm]
[mm] \Sigma_A [/mm] ist das Spektrum der Matrix A.
Für den Beweis nehme ich an, das A eine (n x n) Matrix ist.
Sei [mm] \lambda\in\Sigma_{A^{T}A} [/mm] dann gilt
[mm] A^{T}Av=\lambda{v} [/mm] daraus folgt durch Multiplikation mit A
[mm] AA^{T}Av=\lambda{Av}
[/mm]
also ist Av ein Eigenvektor von [mm] AA^{T} [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] AA^{T}. [/mm] Also gilt [mm] \lambda\in\Sigma_{AA^{T}} [/mm] und deshalb
[mm] \Sigma_{A^{T}A}\subset\Sigma_{AA^{T}}
[/mm]
Umgekehrt gilt
sei [mm] \lambda\in\Sigma_{AA^{T}} [/mm] dann gilt
[mm] AA^{T}v=\lambda{v} [/mm] daraus folgt durch Multiplikation mit [mm] A^T
[/mm]
[mm] A^{T}AA^{T}v=\lambda{A^{T}v}
[/mm]
also ist [mm] A^{T}v [/mm] ein Eigenvektor von [mm] A^{T}A [/mm] und [mm] \lambda\in\Sigma_{A^{T}A} [/mm] d.h.
[mm] \Sigma_{AA^{T}}\subset\Sigma_{A^{T}A}
[/mm]
deshalb gilt [mm] \Sigma_{A^{T}A}=\Sigma_{AA^{T}}
[/mm]
mfg ullim
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| Aufgabe | Vielen für die ausführliche Hilfe. Es ist so wie ich es mir gedacht habe. Nur die einzige Frage, sind die Singulärwerte [mm] \not= [/mm] 0. ?
Ich habe etwas über eine volle Singulärwertezerlegung und eine sozusagen verkürzte, bei der dann auch die Matrix S (Sigma) nicht quadratisch ist.
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Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 18.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast Recht, es können auch Singulärwerte auftreten die 0 sind. Die Matrix S kann dann auch eine nicht quadratische Form der Dimension (m x n) besitzen.
Wenn die Ausgangsmatrix A den Rang r besitzt (r < n und r < m), dann gibt es r Singulärwerte > 0, die restlichen sind 0.
Somit kann man sagen, dass die Singulärwerte [mm] \ne [/mm] 0 für A und [mm] A^T [/mm] gleich sind. Wenn [mm] n\ne [/mm] m gilt, können aber unterschiedlich viele Singulärwerte mit Wert = 0 für A und [mm] A^T [/mm] auftreten.
mfg ullim
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