Singulärwertzerlegung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:11 Sa 12.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei folgender Operator gegeben:
[mm] $T\colon L^2([0,1])\to H^1([0,1]), x\mapsto\int\limits_0^t x(s)\, [/mm] ds$
Zeige, dass die Singulärwertzerlegung von T gegeben ist durch
[mm] $\sigma_j=\frac{1}{(j-1/2)\pi},~~~~~~~~~~v_j(x)=\sqrt{2}\cos((j-1/2)\pi x),~~~~~~~~~~u_j(x)=\sqrt{2}\sin((j-1/2)\pi [/mm] x)$. |
Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Ich weiß nicht, was ich machen muss (auch, wenn sich das blöde anhört, ich weiß es wirklich nicht).
Ich habe provisorisch den adjungierten Operator schonmal bestimmt, weiß aber nicht, ob man ihn überhaupt benötigt:
Der adjungierte Operator ist gegeben durch
[mm] $x\mapsto\int\limits_t^1 x(s)\, [/mm] ds x'(t)$.
Bitte, kann mir jemand helfen?
Ganz viele Grüße
mikexx
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:26 So 13.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich nehme an, daß dort ein Fehler in der Aufgabenstellung ist und daß man die gegebene Singulärwertzerlegung vielmehr für den Operator
[mm] $S\colon L^2([0,1]\to L^2([0,1]), x\mapsto\int\limits_0^t x(s)\, [/mm] ds$
nachweisen soll, dessen adjungierter Operator gegeben ist durch
[mm] $x\mapsto\int\limits_t^1 x(s)\, [/mm] ds$. |
Zumindest kann ich dann zeigen, daß
[mm] $Sv_j=\sigma_ju_j,~~~S^{\star}u_j=\sigma_jv_j$.
[/mm]
Muss man hier sonst noch etwas zeigen?
Ich würde mich sehr über Eure Hilfe freuen!
Grüße
mikexx
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:07 So 13.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich denke ich muss noch zeigen, daß
[mm] $\left\{v_j\right\}$ [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] $\operatorname{ker}(S)^{\bot}$ [/mm]
und
[mm] $\left\{u_j\right\}$ [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] $\overline{\operatorname{ran}(S)}$
[/mm]
ist. Nun ist es ja so, daß hier [mm] $\operatorname{ker}(S)=\left\{0\right\}$ [/mm] und ebenso [mm] $\operatorname{ker}(S^{\star})=\left\{0\right\}$.
[/mm]
Damit muss ich hier zeigen, daß [mm] $\left\{v_j\right\}$ [/mm] und [mm] $\left\{u_j\right\}$ [/mm] Orthonormalbasen von [mm] $L^2([0,1])$ [/mm] sind.
Ich habe bereits gezeigt, daß sie jeweils Orthonormalsysteme sind.
Nun muss ich also "nur noch" zeigen, daß
[mm] $\overline{\operatorname{span}(v_j)}=L^2([0,1])$ [/mm] und
[mm] $\overline{\operatorname{span}(u_j)}=L^2([0,1])$.
[/mm]
Wie zeigt man das? Ich bekomme es leider alleine nicht hin. |
Ich habe leider noch keinen Ansatz dafür...
Kann und mag mir jmd. bitte helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 14.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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