Singularität Cot(1/z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 16.09.2017 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend Leute,
hier mal eine Frage zur Bestimmung und Charakterisierung von isolierten Singularitäten.
cot(1/z)= cos(1/z) / sin (1/z)
Der Nenner hat nur einfache Nullstellen für z= [mm] 1/(n\pi) [/mm] für jede ganze Zahl [mm] n\not=0.
[/mm]
Der Zähler hat dort keine --> Pole erster Ordnung
Nun denke ich, dass es wegen 1/z bei 0 eine wesentliche Singularität geben muss.
Zumindest sin(1/z) und cos(1/z) haben dort wesentliche Singularitäten, wie man sieht, wenn man die entsprechenden Reihenentwicklungen hinschreibt und auf die Form der Laurentreihe bringt. Dann sieht man, dass es unendlich viele Laurentglieder mit negativem Index gibt --> wesentliche Singularität.
Aber ich habe keine Ahnung, was das für den Bruch beider Funktionen aussagt. Wir haben in der Vorlesung keine Reihe für den cot(z) hergeleitet und 'per Hand' ist das vermutlich sehr mühsehlig.
Gibt es Argumente dafür, dass der Quotient zweier Funktionen mit wesentlicher Singularität an der gleichen Stelle wieder eine wesentliche Singularität dort haben muss?
Viele Grüße
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Sa 16.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend Leute,
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> hier mal eine Frage zur Bestimmung und Charakterisierung
> von isolierten Singularitäten.
>
> cot(1/z)= cos(1/z) / sin (1/z)
>
> Der Nenner hat nur einfache Nullstellen für z= [mm]1/(n\pi)[/mm]
> für jede ganze Zahl [mm]n\not=0.[/mm]
> Der Zähler hat dort keine --> Pole erster Ordnung
Das stimmt.
>
> Nun denke ich, dass es wegen 1/z bei 0 eine wesentliche
> Singularität geben muss.
Hmm mm. .... setzen wir [mm] z_n=\bruch{1}{n \pi}
[/mm]
wie Du oben festgestellt hast,sind das alles Pole. Diese Pole häufen sich in 0.
Damit ist 0 keine isolierte Singularität ! 0 ist also Häufungspunkt von Polen.
Wie nennt man das?
Antwort: Warschau.
ha ha ha .....
> Zumindest sin(1/z) und cos(1/z) haben dort wesentliche
> Singularitäten, wie man sieht, wenn man die entsprechenden
> Reihenentwicklungen hinschreibt und auf die Form der
> Laurentreihe bringt. Dann sieht man, dass es unendlich
> viele Laurentglieder mit negativem Index gibt -->
> wesentliche Singularität.
>
> Aber ich habe keine Ahnung, was das für den Bruch beider
> Funktionen aussagt. Wir haben in der Vorlesung keine Reihe
> für den cot(z) hergeleitet und 'per Hand' ist das
> vermutlich sehr mühsehlig.
> Gibt es Argumente dafür, dass der Quotient zweier
> Funktionen mit wesentlicher Singularität an der gleichen
> Stelle wieder eine wesentliche Singularität dort haben
> muss?
>
> Viele Grüße
> Paivren
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Sa 16.09.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo Fred,
das ist brillant!! Nicht nur der Witz, haha!
0 ist also keine isolierte Singularität. Aber was ist 0 dann?
Holomoprh ist die Funktion dort doch sicher nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 So 17.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> das ist brillant!! Nicht nur der Witz, haha!
>
> 0 ist also keine isolierte Singularität. Aber was ist 0
> dann?
> Holomoprh ist die Funktion dort doch sicher nicht...
Richtig, 0 ist eine Singularität, aber keine isolierte
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 So 17.09.2017 | | Autor: | Paivren |
Danke dir :)
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