Singularität, Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das jeweilige Residuum an.
c) [mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Leider bereitet mir diese recht einfache Aufgabe doch Schwierigkeiten. Ich scheitere beim Versuch f in [mm] z_{0}=-1 [/mm] in eine Laurentreihe zu entwickeln.
[mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=z^3*(1+z)^{-3}
[/mm]
Was mache ich mit dem [mm] z^3 [/mm] ? Entschuldigt, ich stehe gerad' ein wenig auf dem Schlauch. Der Punkteverteilung nach müsste dies ganz simpel sein.
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Hallo Camille,
> Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und
> bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das
> jeweilige Residuum an.
>
> c) [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Leider bereitet mir diese recht einfache Aufgabe doch
> Schwierigkeiten. Ich scheitere beim Versuch f in [mm]z_{0}=-1[/mm]
> in eine Laurentreihe zu entwickeln.
>
> [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=z^3*(1+z)^{-3}[/mm]
>
> Was mache ich mit dem [mm]z^3[/mm] ? Entschuldigt, ich stehe gerad'
Naheliegend ist z durch
[mm]\left(z+1\right)-1[/mm]
zu ersetzen.
Dann hast Du
[mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}[/mm]
Und jetzt noch auf dem Zähler den binomischen Satz anwenden.
> ein wenig auf dem Schlauch. Der Punkteverteilung nach
> müsste dies ganz simpel sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Camille |
Binomischer Lehrsatz, aber klar, da hätte man auch alleine draufkommen können...
Ich dank' dir!
[mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}=\bruch{\summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}(z+1)^{3-k}*(-1)^k}{(z+1)^3}=\summe_{k=0}^{3}(-1)^k*\vektor{3 \\ k}*(z+1)^{-k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{0}=-1 [/mm] ist eine Polstelle 3. Ordnung und [mm] res_{-1}f=(-1)*\vektor{3 \\ 1}=-3
[/mm]
Ok so?
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Hallo Camille,
> Binomischer Lehrsatz, aber klar, da hätte man auch alleine
> draufkommen können...
>
> Ich dank' dir!
>
>
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> [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}=\bruch{\summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}(z+1)^{3-k}*(-1)^k}{(z+1)^3}=\summe_{k=0}^{3}(-1)^k*\vektor{3 \\ k}*(z+1)^{-k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_{0}=-1[/mm] ist eine Polstelle 3. Ordnung und
> [mm]res_{-1}f=(-1)*\vektor{3 \\ 1}=-3[/mm]
>
> Ok so?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Camille |
Wunderbar, danke nochmals für die schnelle Hilfe!
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