Sinus gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!!
Die Sinus-Funktion ist ja auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig. Wie kann ich das beweisen? Normalerweise fange ich ja so an: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Setze [mm] \delta:= [/mm] ... dann gilt für alle x,y mit [mm] |x-y|<\delta:
[/mm]
|f(x)-f(y)| = |sin(x)-sin(y)| und nun?
Habe auch versucht über die Reihen zu gehen:
|sin(x)-sin(y)| = [mm] |\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)!}| [/mm] = |x * [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{2n}}{(2n+1)!} [/mm] - y * [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{y^{2n}}{(2n+1)!}| [/mm]
Aber da komme ich auch nicht weiter..
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Der sin ist ja beschränkt, welchen maximalen Wert kann |sin(x)-sin(y)| annehmen?
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Maximal 2 würd ich sagen.
Wie kann ich dann damit genau die glm. Stetigkeit begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
es gilt doch dann z.B.
|f(x)-f(y)|< 2,5
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So ganz komme ich immer noch nicht dahinter. Was nützt mir die Beschränktheit von 2. Was ist denn wenn ich ein [mm] \varepsilon [/mm] von 0,1 vorgegeben habe? Dann muss ich ja irgendwie auch mein [mm] \delta [/mm] kleiner wählen und damit wird der Abstand von x und y ja geringer was ja auch zur Folge hat, dass f(x)-f(y) kleiner wird. Nur mathematisch begründen kann ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Versuch doch mal ein L zu finden wie in der vorigen Aufgabe.
Gruss leduart
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Tut mir Leid, ich komme immer noch nicht weiter :( Kann es sein, dass dann $|sin(x)-sin(y)| [mm] \le [/mm] 2|x-y|$ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir mal die Ableitung an !
Gruss leduart
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Es ist ja [mm] \limes_{x\rightarrow y} \bruch{sin(x)-sin(y)}{x-y}=cos(y) [/mm] und es gilt ja -1 [mm] \le [/mm] cos(y) [mm] \le [/mm] 1 (also maximal 1). Somit ist dann $|sin(x)-sin(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|$. Und dann kann ich [mm] \delta:=\varepsilon [/mm] setzen und dann ist für alle x,y mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] auch $|sin(x)-sin(y)| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Ist die Begründung so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist ja [mm]\limes_{x\rightarrow y} \bruch{sin(x)-sin(y)}{x-y}=cos(y)[/mm]
> und es gilt ja -1 [mm]\le[/mm] cos(y) [mm]\le[/mm] 1 (also maximal 1). Somit
> ist dann [mm]|sin(x)-sin(y)| \le |x-y|[/mm]. Und dann kann ich
> [mm]\delta:=\varepsilon[/mm] setzen und dann ist für alle x,y mit
> [mm]|x-y| < \delta[/mm] auch [mm]|sin(x)-sin(y)| < \varepsilon[/mm]. Ist die
> Begründung so richtig?
naja, sehr schwammig ist das ganze, weil Du folgerst:
[mm] $\limes_{x\rightarrow y} \bruch{sin(x)-sin(y)}{x-y}=cos(y)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] |sin(x)-sin(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|$
Diese Folgerung ist unklar.
Wie folgt denn $|sin(x)-sin(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|$ aus der vorhergehenden Aussage, wo linkerhand ein Grenzwert steht???
Aber man kann in der Tat zeigen:
Sei o.E. $x < y$, dann folgt:
[mm] $|\sin(y)-\sin(x)| \le [/mm] |y-x|$
Wie zeigt man das? Naja, nach dem Mittelwertsatz existiert ein $x < [mm] \xi [/mm] < y$ derart, dass
[mm] $\frac{\sin(y)-\sin(x)}{y-x}=\sin'(\xi)=\cos(\xi)$
[/mm]
Und jetzt kannst Du nochmal schnell drüber nachdenken, welche Konsequenz das für [mm] $\vmat{\frac{\sin(y)-\sin(x)}{y-x}}$ [/mm] nach sich zieht, wenn Du weiterhin [mm] $|\cos(\xi)| \le [/mm] 1$ beachtest, und dann steht es auch schon da (so ähnlich steht es bei Dir, aber diese Argumentation hier ist nicht "schwammig" im Gegensatz zu Deiner).
P.S.:
Und ja, wenn Du nun irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben hast, so setze [mm] $\delta:=\varepsilon [/mm] > 0$ und schon folgt für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] die nur $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] erfüllen, dass [mm] $|\sin(x)-\sin(y)| \le [/mm] |x-y| < [mm] \delta=\varepsilon$
[/mm]
Ergo:
[mm] $\sin(.)$ [/mm] ist glm. stetig auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mi 06.02.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Alles klar, habe es jetzt verstanden. Vielen Dank für Eure Hilfe!!
Gruß Patrick
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