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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 01.07.2008 | | Autor: | Mathmark |
Servus Zusammen !
Ich habe eine Sinus-Funktion konstruiert, deren Tangenten im oberen Bereich und Minima auf den Geraden [mm] $\frac{1}{2}\cdot [/mm] x$ bzw. [mm] $3\cdot [/mm] x+1$ liegen.
[mm] $f(x):=\left|\left(\frac{5}{2}\cdot x+1\right)\cdot \sin\left(\frac{x\cdot \pi}{2}\right)\right|+\frac{1}{2}\cdot [/mm] x$
Hier der zugehörige Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gibt es eine Möglichkeit, eine Sinusfunktion zu konstruieren, die genau dieselben Eigenschaften besitzt, aber keinen Betrag enthält ?
Hoffe auf Antwort !!
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Zuerst müsste definiert werden, was alles für Operationen andernfalls zugelassen wären: z.B. Funktion aufteilen in zwei Fälle oder [mm] \sin(...)^2 [/mm] etc.
Für Polynome g(x) und h(x), findet man sicherlich keine Lösung der Form [mm] $g(x)*\sin(x*\pi/2) [/mm] + h(x)$.
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> Servus Zusammen !
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> Ich habe eine Sinus-Funktion konstruiert, deren Tangenten
> im oberen Bereich und Minima auf den Geraden
> [mm]\frac{1}{2}\cdot x[/mm] bzw. [mm]3\cdot x+1[/mm] liegen.
> Gibt es eine Möglichkeit, eine Sinusfunktion zu
> konstruieren, die genau dieselben Eigenschaften besitzt,
> aber keinen Betrag enthält ?
hallo Mark,
wenn du einfach eine (modifizierte) Sinusfunktion mit den
angegebenen (vielfachen) Tangenten suchst, dann kann man dir
leicht helfen:
ich verallgemeinere die Frage: gesucht ist eine verallgemeinerte
Sinusfunktion mit konstanter Wellenlänge [mm] \lambda [/mm] , aber variabler
Amplitude mit den beiden einhüllenden Kurven y=u(x) (erste
Begrenzungskurve) und y=o(x) (zweite Begrenzungskurve).
Die Funktionen
[mm]\ f(x)=\bruch{1}{2}*\left[o(x)+u(x)+\left[o(x)-u(x)\right]*sin(\bruch{2*\pi*x}{\lambda}-\varphi)\right][/mm]
erfüllen alle diese Bedingungen.
Für das vorliegende Beispiel also etwa:
[mm]\ f(x)=\bruch{1}{2}*\left[3.5x+1+(2.5x+1)*sin(\pi*x)\right][/mm]
Vorsicht: die Hoch- und Tiefpunkte liegen nicht exakt auf
den beiden Begrenzungskurven !
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen !!!
Vielen Dank für Eure Hilfe......
Sehr interessant fand ich die allgemeingültige Darstellung.
um jedoch dieselben minima und maxima auf den Geraden zu erhalten, muss lediglich das Argument des Sinuses in [mm] $\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot\pi$ [/mm] geändert werden, so dass
$ \ [mm] f(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\left[3.5x+1+(2.5x+1)\cdot{}sin(\pi\cdot{}(x-0.5))\right] [/mm] $
Dann ist für alle [mm] $x\in\IN$: $f(x)_d=f(x)_m$ [/mm] , wobei deine Funktion [mm] $f(x)_d$ [/mm] und meine Betragsfunktion [mm] $f(x)_m$.
[/mm]
Also Vielen Dank nochmal !
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> um jedoch dieselben minima und maxima auf den Geraden zu
> erhalten, muss lediglich das Argument des Sinuses in
> [mm]\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot\pi[/mm] geändert werden, so dass
> ......
> ......
Wie schon gesagt: die Minima und Maxima liegen nicht
exakt auf den beiden Geraden. Für die Funktion mit den
Beträgen war dies zwar für die Minima (Spitzen) der Fall,
für die Maxima aber auch nicht.
Falls du wirklich die Minima und Maxima auf zwei vorgegebene
Geraden bringen möchtest, wäre dies eine neue Aufgabe.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Do 03.07.2008 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !
Ja du hast recht, natürlich sind es keine Maxima und Minima. Die Geraden bilden Sekanten.
Wichtig war dabei, dass betrachtet auf die natürlichen Zahlen, die Funktion wieder natürliche Zahlen liefert und zwar abwechselnd auf der einen und dann auf der anderen Geraden.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 03.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Interessante Gleichung, gibt es dafür irgendeine Herleitung? Oder hat man die nur durch (geschicktes) Probieren herausgefunden und kann nur nachweisen, dass sie die geforderten Bedingungen erfüllt?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
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> Interessante Gleichung, gibt es dafür irgendeine
> Herleitung? Oder hat man die nur durch (geschicktes)
> Probieren herausgefunden und kann nur nachweisen, dass sie
> die geforderten Bedingungen erfüllt?
>
hallo Teufel,
falls du diese Gleichung:
[mm]\ f(x)=\bruch{1}{2}*\left[o(x)+u(x)+\left[o(x)-u(x)\right]*sin(\bruch{2*\pi*x}{\lambda}-\varphi)\right][/mm]
meinst, dann kann ich dir antworten.
Ich habe mir einfach überlegt, welche lineare Transformation
ich auf die Sinuswerte (die im Intervall [-1;+1] liegen) ausüben
muss, damit die neuen Werte in ein beliebiges Intervall [u;o] zu
liegen kommen. Untergrenze u und Obergrenze o dürfen dann
z.B. auch noch von x abhängig sein.
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 03.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Jo, meinte ich :)
Lineare Transformation sagt mir gerade nichts, geht aber wohl grad etwas zu tief in die Materie... danke auf alle Fälle!
Teufel
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> Lineare Transformation sagt mir gerade nichts, geht aber
> wohl grad etwas zu tief in die Materie...
auf keinen Fall !
man kann es auch so sagen:
bestimme die lineare Funktion f mit f(-1)= u und f(1)= o
(ich merke gerade wieder einmal, dass der Buchstabe o eine sehr
ungeeignete Bezeichnung ist, weil man ihn fast zwangsläufig
mit der Null verwechselt)
oder:
wie lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte [mm] P_1(-1/u) [/mm] und [mm] P_2(+1/o),
[/mm]
wenn die Werte u und o vorgegeben sind ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Do 03.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, danke dir (mal wieder)! Ja, jetzt wo du's so sagst ergibt das ganze natürlich Sinn. Muss man nur erstmal drauf kommen :) Ist schon eine interessante Sache...
Teufel
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