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M =(x, y) [mm] \in [/mm] R2 : x + y = 1
Wir de finieren eine Vektoraddition für (a1, a2),(b1, b2) [mm] \in [/mm] M durch:
(a1, a2) [mm] \oplus [/mm] (b1; b2) = (a1 + b1 - 0.5, a2 + b2 - 0.5)
1. Zeigen Sie, dass [mm] \oplus [/mm] abgeschlossen ist und geben Sie das neutrale Element an.
2. De finieren Sie eine Skalarmultiplikation * : RxM --> M so dass [mm] (M,\oplus,*) [/mm] ein Vektorraum über dem Körper R wird. Beweisen Sie die Vektorraumeigenschaften. (Gehen Sie davon aus, dass R ein Körper und dass [mm] (M,\oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe ist.) </task>
Hallo,
ich habe Probleme bei der zweiten Teilaufgabe. Die erste habe ich bereits gelöst, aber irgendwie komme ich nicht auf die Skalarmultiplikation.
Ich weiß, dass folgende Eigenschaften gelten müssen:
I: [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * v) = [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * v
IIa: α * (u + v) = α * u + α * v
IIb: (α + β) * v = α * v + β * v,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K
III: 1 * v = v
und, dass ich auch nocheinmal die Abgeschlossenheit zeigen muss.
Ich weiß, dass die Skalarmultiplikation nichts anderes als die Verlängerung eines Vektors um einen bestimmten Faktor ist, aber es muss scheinbar eine spezielle für diese Aufgabe sein?
Über Hilfe würde ich mich wirklich freuen.
Liebe Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M =\{(x, y) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R2 : x + y = 1\}
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> Wir de finieren eine Vektoraddition für (a1, a2),(b1, b2)
> [mm]\in[/mm] M durch:
> (a1, a2) [mm]\oplus[/mm] (b1; b2) = (a1 + b1 - 0.5, a2 + b2 - 0.5)
> 1. Zeigen Sie, dass [mm]\oplus[/mm] abgeschlossen ist und geben Sie
> das neutrale Element an.
> 2. De finieren Sie eine Skalarmultiplikation * : RxM --> M
> so dass [mm](M,\oplus,*)[/mm] ein Vektorraum über dem Körper R
> wird. Beweisen Sie die Vektorraumeigenschaften. (Gehen Sie
> davon aus, dass R ein Körper und dass [mm](M,\oplus)[/mm] eine
> abelsche Gruppe ist.)
> Hallo,
>
> ich habe Probleme bei der zweiten Teilaufgabe. Die erste
> habe ich bereits gelöst, aber irgendwie komme ich nicht
> auf die Skalarmultiplikation.
> Ich weiß, dass folgende Eigenschaften gelten müssen:
> I: [mm] \alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * v) = [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * v
> IIa: α * (u + v) = α * u + α * v
> IIb: (α + β) * v = α * v + β * v,
> sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des
> Körpers K
> III: 1 * v = v
> und, dass ich auch nocheinmal die Abgeschlossenheit zeigen
> muss.
Genau. Und schon an dieser Stelle scheiter ja die "ganz normale" Multiplikation mit Skalaren.
> Ich weiß, dass die Skalarmultiplikation nichts anderes
> als die Verlängerung eines Vektors um einen bestimmten
> Faktor ist, aber es muss scheinbar eine spezielle für
> diese Aufgabe sein?
Ja. Sonst funktioniert das nicht, wie Du an Beispielen feststellen kannst.
>
> Über Hilfe würde ich mich wirklich freuen.
Ich würde jetzt mal ein bißchen mit den Axiomen spielen und dabei Ideen sammeln.
Wegen IIb muß ja z.B. gelten, daß [mm] (1+1)(a_1, a_2)= 1*(a_1, a_2)+1*(a_1, a_2)=(a_1, a_2)+(a_1+a_2)= [/mm] ...
Vielleicht das ganze auch mal mit [mm] 3(a_1, a_2)=(1+1+1)(a_1, a_2).
[/mm]
Wenn Du eine Idee für die Definitionsgleichung der Multiplikation hast, dann testest du sie an ein paar Beispielen und versuchst anschließend zu beweisen, daß alles schön klappt.
Gruß v. Angela
> Liebe Grüße.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 So 25.12.2011 | | Autor: | epiphanias |
Ich glaube, ich stehe auf dem Schlauch, ich komme einfach nicht auf die Lösung.
Es kann doch eigentlich nur das Paar (1,1) sein, weil es sonst mit 1/2 nicht hinkommt, oder wo liegt mein Denkfehler?
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> Ich glaube, ich stehe auf dem Schlauch, ich komme einfach
> nicht auf die Lösung.
Hall,
vielleicht sagst Du mal genauer, wovon Du gerade die Lösung suchst.
Ich kann mir auf das, was Du schreibst keinen Reim machen.
>
> Es
Was denn?
> kann doch eigentlich nur das Paar (1,1) sein, weil es
> sonst mit 1/2 nicht hinkommt, oder wo liegt mein
> Denkfehler?
K.A.
Sag' uns, über welche Frage Du gerade nachdenkst, und was Du mit welchem Ergebnis probiert hast.
Gruß v. Angela
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