Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
soll zu morgen ein Referat über Aquaivalenz der Definitionen des Skalarproduktes. Hab da paar Fragen.
Erstmal:
Was ist ein Skalarprodukt?
Zweitens:
Habe noch zwei Definitonen gegeben. Was kann man zu dennen sagen?:
1 [mm] Defi:\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\alpha)
[/mm]
2 [mm] Defi:\vec{a}*\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} [/mm]
Wäre sehr dankbar für Hilfe, ist nämliche wichtig für mich.
Gruss
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Danke dir!
Muss noch eine Aufgabe rechnen für das Referat
[Dateianhang nicht öffentlich]
G liegt auf dem OA, deshalb gilt: [mm] \vec{BG}=-\vec{b}+r*\vec{a}
[/mm]
Damit G der Fußpunkt ist, muss [mm] \vec{BG}den [/mm] kürzesten Abstand zwischen B und OA angeben. Setzt die Koordinaten von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ein. Bestimme dann r so, dass [mm] \vec{BG} [/mm] minimal wird. Dies ist dann der fall wenn [mm] f(r)=|\vec{BG}|² [/mm] minimal ist. Rechne also das Minimum der Funktion f(r) aus. Das erhatene r muss dann nur noch mit HIlfe des Skalarproduktes aus Def.2 ausgedrückt werden.
Meine Frage dazu.
Im großen und ganzen steht einfach in der Aufgabe das ich die von der Funktion [mm] f(r)=(-|\vec{b}|+r*|\vec{a}|)² [/mm] das Minimum ausrechne.
Mein Ergebnis hierfür war mit der Kettenregel: [mm] f'(r)=2*|\vec{a}|*(-|\vec{b}|+r*|\vec{a}|)
[/mm]
"Das erhatene r muss dann nur noch mit HIlfe des Skalarproduktes aus Def.2 ausgedrückt werden."
weiß nicht wie ich das jetzt machen soll
Außerdem:
Wie kommt man dann auf diese Aussage:
"Bestimme dann r so, dass [mm] \vec{BG} [/mm] minimal wird. Dies ist dann der fall wenn [mm] f(r)=|\vec{BG}|² [/mm] minimal ist. Rechne also das Minimum der Funktion f(r) aus."
Ich denke wenn ich das noch hab, kann ich morgen ohne Probleme vortragen.
Gruss
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Danke dir!
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> Muss noch eine Aufgabe rechnen für das Referat
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> G liegt auf dem OA, deshalb gilt:
> [mm]\vec{BG}=-\vec{b}+r*\vec{a}[/mm]
> Damit G der Fußpunkt ist, muss [mm]\vec{BG}den[/mm] kürzesten
> Abstand zwischen B und OA angeben. Setzt die Koordinaten
> von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ein. Bestimme dann r so, dass
> [mm]\vec{BG}[/mm] minimal wird. Dies ist dann der fall wenn
> [mm]f(r)=|\vec{BG}|²[/mm] minimal ist. Rechne also das Minimum der
> Funktion f(r) aus. Das erhatene r muss dann nur noch mit
> HIlfe des Skalarproduktes aus Def.2 ausgedrückt werden.
>
> Meine Frage dazu.
>
> Im großen und ganzen steht einfach in der Aufgabe das ich
> die von der Funktion [mm]f(r)=(-|\vec{b}|+r*|\vec{a}|)²[/mm] das
> Minimum ausrechne.
> Mein Ergebnis hierfür war mit der Kettenregel:
> [mm]f'(r)=2*|\vec{a}|*(-|\vec{b}|+r*|\vec{a}|)[/mm]
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> "Das erhatene r muss dann nur noch mit HIlfe des
> Skalarproduktes aus Def.2 ausgedrückt werden."
>
> weiß nicht wie ich das jetzt machen soll
Hallo,
zweierlei:
1. Du gibst gar nicht an, was Du nun als r ausgerechnet hast.
2. Wie bist Du eigentlich auf die Funktion f(r) gekommen, ich sehe das nicht, und es ist auch falsch:
Mal angenommen, [mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{0G}=\vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{BG}| [/mm] =| [mm] -\vec{b}+\overrightarrow{0G}| [/mm] wäre dann ja offensichtlich =1.
Deine Rechnung allerdings würde liefern [mm] |\overrightarrow{BG}|^2= (-\wurzel{2}+1)^2=3-2\wurzel{2}
[/mm]
Beim "Ausdrücken mithilfe des Skalarproduktes" ist sicher folgendes nützlich: [mm] |\vec{x}|=\wurzel{\vec{x}*\vec{x}}.
[/mm]
Ich glaube, daß Du mit den Koordinaten der Vektoren arbeiten sollst, um dieses herauszufinden.
Eine Anmerkung zu Deiner Extremwertberechnung: sie schießt mit dem Hilfsmittel Differentialrechnung etwas übers Ziel hinaus. Du wolltest ja [mm] (-|\vec{b}|+r*|\vec{a}|)^2 [/mm] minimieren. Da kleinste Ergebnis, welches man für diesen Ausdruck erhalten kann, ist 0. Du brauchst also nur zu überlegen, für welches r der Ausdrck in der Klammer =0 wird.
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> Außerdem:
> Wie kommt man dann auf diese Aussage:
> "Bestimme dann r so, dass [mm]\vec{BG}[/mm] minimal wird. Dies ist
> dann der fall wenn [mm]f(r)=|\vec{BG}|²[/mm] minimal ist. Rechne
> also das Minimum der Funktion f(r) aus."
Ich weiß jetzt nicht genau, an welcher Stelle des Textes Dein Verständnisproblem liegt.
Man möchte [mm] \vec{BG} [/mm] minimal haben. Natürlich könnte man [mm] \vec{BG} [/mm] als Funktion von r schreiben, da hätte man aber eine Wurzel drin, was unbequem ist.
Deshalb arbeitet man lieber mit dem Quadrat des Abstandes. An der Stelle r, an welcher der Abstand minimal ist, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal.
Gruß v. Angela
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> Ich denke wenn ich das noch hab, kann ich morgen ohne
> Probleme vortragen.
>
> Gruss
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Hi Leute!
Kann die Aufgabe nur noch bis zu morgen machen und vortragen:
Den ersten Teil hab ich ohne Problme geschafft nur diesen zweiten Teil hab ich nicht geschafft zu errechnen.
soll die ganze Aufgabe algemein ausrechnen und zwar mit [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] als dreidemensionale Vektoren
Dann wage ich noch ein Versuch zu diesem Schritt den ich machen muss:
[Dateianhang nicht öffentlich]
"Der Fußpunkt G liegt irgendwo auf OA, deshalb gilt [mm] |\vec{BG}|=-\vec{b}+r\vec{a}.
[/mm]
Damit G der Lotfußpunkt isT, muss [mm] |\vec{BG}| [/mm] den kürzesten Abstand zwischen B und OA angeben. Setze die Koordinaten von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}ein. [/mm] Bestimme dann r so, dass [mm] |\vec{BG}| [/mm] minimal wird. Dies ist dann der Fall, wenn [mm] f(r)=|\vec{BG}|² [/mm] minimal ist. Rechne als das Minimum der Funktion f(r) aus. Das erhaltene r muss noch mit Hilfe aus der Def.2 ausgedrückt werden."
Als erstes rechne ich r aus, so dass [mm] |\vec{BG}| [/mm] minimal wird.
Ich setze erstmal die Koordianten dann ein und gucke wann r minimal oder?
Mit den Koordinaten eingesetzt erhalte ich:
[mm] |\vec{BG}|=-\vektor{b_{1} \\ b_{2}\\ b_{3}}+r*\vektor{a_{1} \\ a_{2}\\ a_{3}}
[/mm]
Bin etwas schwer vom Begriff. Wie erkenne ich jetzt wann r minmal ist?
Wie ich das dann mit der Funktion mache, hab ich immernoch nicht recht vertanden.
Gruss defjam
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisno |
> Ich setze erstmal die Koordianten dann ein und gucke wann r
> minimal oder?
> Mit den Koordinaten eingesetzt erhalte ich:
> [mm]|\vec{BG}|=-\vektor{b_{1} \\ b_{2}\\ b_{3}}+r*\vektor{a_{1} \\ a_{2}\\ a_{3}}[/mm]
>
> Bin etwas schwer vom Begriff. Wie erkenne ich jetzt wann r
> minmal ist?
Nicht r soll minimal werden. Für welches r wird der Abstand minimal? Da gibt es so Aufgaben: für welches x wird f(x) minimal? Um die Funktion erst einmal hinzuschreiben, musst Du auch den Abstand berechnen. Bisher steht da in etwa die Summe zweier Vektoren. Wie bestimmt man den Abstand zweier Punkte, bzw. die Länge eines Vektors?
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danke
ich bestimmt den Abstand zweier Punkte mit dessen BEtrag. Dafür rechne ich [mm] |\vec{BG}|=-\wurzel{b_{1}²+b_{2}²+b_{3}²}+r\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}
[/mm]
Wie fahre ich nun fort um zu bestimmen für welches r [mm] |\vec{BG}| [/mm] minimal ist?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 17.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die Summe der Abstände 0B, OG angegeben. nicht den Abstand BG!
überleg noch mal die erste Komponente deines Vektors BG ist b1+r*a1 !
Gruss leduart
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danke Leduart
versteh nicht genau wie ich das machen soll.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 17.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht ganz: kannst du den Betrag eines Vektors nicht ausrechnen?
und dass die Summe der Beträge nicht gleich dem Betrag der Summe ist, weisst du auch.
da du ja grad Skalarprodukte machst: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seines Betrages!
Gruss leduart
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Danke
Also [mm] |\vec{BG}|=\wurzel{(ra_{1}-b_{1})²+(ra_{2}-b_{2})²+(ra_{3}-b_{3})²}
[/mm]
Das wäre dann richtig? Wie müsste ich jetzt weiter vorgehen?
Hab etwas Probleme mit der lineare Algebra, aber wenn ich hier in dem Forum aktiv bin wirds bestimmt besser 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm das Quadrat und minimier es. Min. findet man wie üblich durch 1. Ableitung nach r und dann =0.
rauskommt r=Skalarprodukt(a,b) durch Betragsquadrat von a.
Gruss leduart
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danke dir
[mm] (ra_{1}-b_{1})²+(ra_{2}-b_{2})²+(ra_{3}-b_{3})²=|\vec{BG}|²
[/mm]
Ableitung gleich 0
Mit der Kettenregel erhalt ich:
[mm] 2r(ra_{1}-b_{1})+2r(ra_{2}-b_{2})+2r(ra_{3}-b_{3})=0
[/mm]
dann kann man 2r ausklammern
[mm] 2r[(ra_{1}-b_{1})+(ra_{2}-b_{2})+(ra_{3}-b_{3})]=0
[/mm]
einmal r=0
und einmal [mm] r=\bruch{b_{1}+b_{2}+b{3}}{a_{1}+a_{2}+a{3}}
[/mm]
ist das richtig?
Das soll ich noch mit der Def [mm] :\vec{a}*\vec{b}=b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3} [/mm] des Skalarporduktes ausdrücken.
Wie sieht das dann aus?
Was kann man noch zu dieser Def sagen
Danke an alle für die Hilfe
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
> [mm](ra_{1}-b_{1})²+(ra_{2}-b_{2})²+(ra_{3}-b_{3})²=|vec{BG}|²[/mm]
>
> Ableitung gleich 0
>
> Mit der Kettenregel erhalt ich:
> [mm]2r(ra_{1}-b_{1})+2r(ra_{2}-b_{2})+2r(ra_{3}-b_{3})=0[/mm]
falsch!
erster Term abgeleitet:
[mm] 2*((ra_{1}-b_{1}))*a_1
[/mm]
dann neu rechnen!
Gruss leduart
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aso ja genau! dummer fehler von mir! Mein Ergebnis jetzt ist [mm] r=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}.
[/mm]
mit der Definition ausgedrückt wäre das dann [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{\vec{a}²} [/mm]
Mein Problem ist jetzt das im Nenner kein Betrag rauskommt, aber das ist ja nicht richtig?
Das ist mein letzter Schritt, dann kann ich die Aufgabe in paar Stunden vorführen und den Skalarprodukt erlären
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo defjam!
Es gilt doch:
[mm] $$\red{\vec{a}^2} [/mm] \ = \ [mm] a_1^2+a_2^2+a_3^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \red{\left|\vec{a}\right|^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ok, dann versuch ich mein Ergebnis nachzuweisen, dass es ein Minmum ist
die erste Ableitung war ja: [mm] 2ra_1(ra_{1}-b_{1})+2r(ra_{2}-b_{2})+2r(ra_{3}-b_{3})=|vec{BG}|²'
[/mm]
die zweite Ableitung ist dann:
[mm] 2a_1²+2a_2²+2a_3²=|\vec{BG}|²''
[/mm]
[mm] f(r)=|\vec{BG}|
[/mm]
die Hinreichende Bedingung lautet
[mm] f''(r)\not=0
[/mm]
[mm] r=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}²|}
[/mm]
[mm] f(r)=2a_1²+2a_2²+2a_3²
[/mm]
hier komm ich jetzt nicht weiter, weil ich bei meiner zweiten Ableitung kein r mehr, was bedeutet das ich nicht r da einsetzen kann
Viele Grüße
defjam123
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Di 19.08.2008 | | Autor: | Blech |
> hier komm ich jetzt nicht weiter, weil ich bei meiner
> zweiten Ableitung kein r mehr, was bedeutet das ich nicht r
> da einsetzen kann
Das ganze ist eine Parabel. Wenn Du Dir allgemein eine Parabel
[mm] $f(r)=er^2+fr+g$
[/mm]
anschaust, dann ist die 2. Ableitung unabhängig von der Variable:
$f''(r)=2e$
So ist das hier auch. Die 2. Ableitung ist zudem positiv (bzw. nichtnegativ, aber sie kann nur 0 sein, wenn a=0 und dann ist das ganze witzlos), weil nur Quadrate und der Faktor 2 drinnen vorkommen, also ist die Parabel nach oben offen und wir haben ein Minimum.
Du mußt das ganze übrigens nicht komponentenweise machen (Du kannst natürlich), ohne die ganzen Indizes wird es übersichtlicher (sonst ist die Rechnung genau das gleiche):
Wir wollen $|-b+ra|$ minimieren. Das ist nichtnegativ, also können wir auch [mm] $|-b+ra|^2$ [/mm] minimieren.
Das ist [mm] $(-b+ra)\cdot(-b+ra)=r^2 a\cdot [/mm] a-2r [mm] a\cdot b+b\cdot [/mm] b$
[mm] $a\cdot [/mm] a$ ist eine reelle Zahl, ebenso die anderen Skalarprodukte, also geht das ganze nach Schema F, denn wir haben eine stinknormale Parabel:
Abgeleitet nach r: [mm] $f'(r)=2a\cdot [/mm] a r [mm] -2a\cdot [/mm] b [mm] \overset{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow r=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}$
[/mm]
2. Ableitung $f''(r)=2 [mm] a\cdot [/mm] a$
[mm] $a\cdot a=|a|^2\geq [/mm] 0$, 2>0, also Minimum.
[btw. anstatt [mm] $a\cdot [/mm] a$ könnte da auch [mm] $\frac{c^t M D M^{-1} c }{c^t D c}$ [/mm] stehen. Da wimmelts vor Matrix-Matrix- und Matrix-Vektor-Operationen, aber ich sag Dir, daß der Ausdruck eine reelle Zahl ist. Solange Du an ihm nicht rumbastelst, kannst Du jetzt fröhlich mit dem Teil in einer Gleichung rumrechnen, weil er sich auch nicht anders verhält als "5". Laß Dich nicht vom Aussehen der Ausdrücke abschrecken, überleg Dir was sie darstellen. =) ]
ciao
Stefan
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Hallo Leute,
mein Referat wurde vor den Sommerferien wieder verschoben, so dass ich es dieses neue Jahr halten muss, da mein Lehrer der Auffassung ist, dass es nach den Ferien sinnvoller ist, da ansonsten das Thema bei den Schülern über den Ferien in vergessenheit geraten würde.
Nun zu meiner Frage:
Zwar habe ich jetzt das Minimum ausgerechnet, aber das müsste ich doch noch mit der Notwendigen Bedingung beweisen? Oder benötige ich das bei dieser Aufgabe nicht?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, normalerwiese muss man auch testen, ob es sich um ein Minimum handelt. Das kann man aber ab und zu auch direkt an der Funktion sehen, wenn zB die 0 der kleinstmögliche Funktionswert ist.
LG
Kroni
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[Dateianhang nicht öffentlich]
hallo defjam,
ich befürchte leider, dass dir die bisherigen Antworten auf
diese Frage nicht sehr nützlich waren ...
Es gibt nämlich einen viel eleganteren und einfacheren Weg,
diese Aufgabe zu lösen: nicht als Extremwertaufgabe mit
Differentialrechnung, sondern als geometrische Aufgabe, die
man mittels des Skalarproduktes leicht lösen kann !
Das geht so:
Du hast: [mm]\overrightarrow{BG}=-\vec{b}+r*\vec{a}[/mm]
Dieser Vektor [mm]\overrightarrow{BG}[/mm] muss senkrecht auf dem Vektor [mm]\vec{a} = \overrightarrow{OA}[/mm]
stehen, und deshalb muss das Skalarprodukt
[mm]\overrightarrow{BG}*\vec{a}[/mm]
gleich null sein. Wenn man für [mm]\overrightarrow{BG}[/mm] den Term [mm]-\vec{b}+r*\vec{a}[/mm]
einsetzt, ergibt dies:
[mm]\ (-\vec{b}+r*\vec{a})*\vec{a}\ =\ 0[/mm]
Hier kann man ausmultiplizieren:
[mm]\ -\vec{b}*\vec{a}+r*\vec{a}*\vec{a}\ =\ 0[/mm]
umstellen:
[mm]\ r*\vec{a}*\vec{a}\ =\ \vec{b}*\vec{a}[/mm]
dividieren:
[mm]\ r\ =\ \bruch{\vec{b}*\vec{a}}{\vec{a}*\vec{a}}[/mm]
Vorsicht: man kann [mm] \vec{a} [/mm] nicht herauskürzen !!!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Mi 18.06.2008 | | Autor: | defjam123 |
Danke dir!
Soll die Aufgabe mit dem Minimum lösen und der mit der Definition die ich im letzten Beitrag geschrieben hab ausdrücken.
Gruss
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> Danke dir!
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> Soll die Aufgabe mit dem Minimum lösen und der mit der
> Definition die ich im letzten Beitrag geschrieben hab
> ausdrücken.
>
> Gruss
O.K. , man kann das auch als Extremwertaufgabe lösen.
Ich finde es aber nicht nur ein bisschen sonderbar, dass diese
Aufgabe, die unter dem Thema "Skalarprodukt" daher kommt,
ausgerechnet ohne das Skalarprodukt und dessen elegante
Möglichkeiten gelöst werden soll...
LG
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Hey Leute,
was ist eigentlich der Lotfußpunkt?
Gruss
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Hallo defjam,
> Hey Leute,
>
> was ist eigentlich der Lotfußpunkt?
Wenn du von einem Punkt P das Lot auf eine Gerade g fällst, so ist der Lotfußpunkt der Schnittpunkt von Lot(-gerade) und der Geraden g
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> Gruss
LG
schachuzipus
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danke dir!
Und was ist ein Lot?
Gruss
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Hallo nochmal,
ein Lot von einem Punkt P auf eine Gerade g ist die Gerade h, die durch P geht und auf g senkrecht steht, also wie die Gerade [mm] $\overline{BG}$ [/mm] ganz weit oben in der Zeichnung.
Der Lotfußpunkt dort ist $G$
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) dort
LG
schachuzipus
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
... ... ... ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
