Skalarprodukt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Di 30.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich habe bezüglich des Skalarproduktes eine Verständnisfrage. Wir hatten dies in der Vorlesung wie üblich definiert:
[mm] $\vec [/mm] a$ [mm] \cdot{} $\vec [/mm] b$ = [mm] |$\vec [/mm] a$| [mm] \cdot{} |$\vec [/mm] b$| [mm] \cdot{} cos(\phi)
[/mm]
Nun gibt es noch die Methode, um ein Skalarprodukt zu bilden, komponentenweise Multiplizieren (Koordianten) und Aufsummieren. Hierbei gibt es nun zwei Einschränkungen, gilt nur:
1. Basisvektoren senkrecht aufeinander
2. Basisvekoren |1|
Man habe nun eine Basis (linear unabhängig und Erzeugendensystem) aber die Basisvektoren sind nicht senkrecht aufeinander, wie kann man dies herausfinden, ob diese nun senkrecht aufeinander stehen?
Wenn man also zwei Vektoren hat und aus diesen soll das Skalarprodukt gebildet werden. Wie man beispielsweise den Winkel zwischen einem Vektor und seiner Basis bestimmt, das weiß ich.
Aber wie finde ich heraus, ob die Basisvekoren aufeinander senkrecht stehen. Als Erstes muss ich doch die Basis bestimmen, also Linearkombination des gegeben Vektors?
Gruß
itse
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Hallo
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe bezüglich des Skalarproduktes eine
> Verständnisfrage. Wir hatten dies in der Vorlesung wie
> üblich definiert:
>
> [mm]\vec a[/mm] [mm]\cdot{}[/mm] [mm]\vec b[/mm] = |[mm]\vec a[/mm]| [mm]\cdot{}[/mm] |[mm]\vec b[/mm]| [mm]\cdot{} cos(\phi)[/mm]
>
>
> Nun gibt es noch die Methode, um ein Skalarprodukt zu
> bilden, komponentenweise Multiplizieren (Koordianten) und
> Aufsummieren. Hierbei gibt es nun zwei Einschränkungen,
> gilt nur:
>
> 1. Basisvektoren senkrecht aufeinander
> 2. Basisvekoren |1|
>
Das sind für mich keine Einschränkungen, sondern eher Spezialfälle. Und genau den einen brauchst du ja gerade!
> Man habe nun eine Basis (linear unabhängig und
> Erzeugendensystem) aber die Basisvektoren sind nicht
> senkrecht aufeinander, wie kann man dies herausfinden, ob
> diese nun senkrecht aufeinander stehen?
>
> Wenn man also zwei Vektoren hat und aus diesen soll das
> Skalarprodukt gebildet werden. Wie man beispielsweise den
> Winkel zwischen einem Vektor und seiner Basis bestimmt, das
> weiß ich.
>
> Aber wie finde ich heraus, ob die Basisvekoren aufeinander
> senkrecht stehen. Als Erstes muss ich doch die Basis
> bestimmen, also Linearkombination des gegeben Vektors?
Du hast ja oben gesagt, es sei eine Basis gegeben und du möchtest herausfinden, ob die Basisvektoren senkrecht aufeinander stehen.. da musst du keine Linearkombination mehr ausrechnen! Die Basis ist ja linear unabhängig..
Nun, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so ist der Winkel zwischen ihnen ja 90°.
Wie du richtig geschrieben hast, ist [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = [mm] |\vec a|*|\vec b|*cos(\phi) [/mm] und somit für 90° [mm] \rightarrow cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \vec{a}*\vec{b} [/mm] = 0.
Also kannst du deine Komponentenweise-Multiplikation durchführen und aufsummieren, und bei einem Resultat von 0 stehen die Vektoren senkrecht aufeinander :)
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>
> Gruß
> itse
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 07.07.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
es gibt nun für das Skalarprodukt die beiden Einschränkungen:
1. Basisvektoren senkrecht zueinander
2. Betrag der Basis = 1
Wir haben nun in der Vorlesung folgendes skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ergeben sich zwei unterschiedliche Skalarprodukte für b1 und b2, je nach Wahl der Basis. Als Erstes wähle ich die Basis e1 und e2, dadurch lassen sich b1 und b2 wie folgt darstellen:
b1 = 2 [mm] \cdot{} [/mm] e1 + 1 [mm] \cdot{} [/mm] e 2
b2 = 1 [mm] \cdot{} [/mm] e1 + 3 [mm] \cdot{} [/mm] e2
Nun das Skalarprodukt bilden: b1 [mm] \cdot{} [/mm] b2 = (2 [mm] \cdot{} [/mm] e1 + 1 [mm] \cdot{} [/mm] e 2) [mm] \cdot{} [/mm] (1 [mm] \cdot{} [/mm] e1 + 3 [mm] \cdot{} [/mm] e2)
Das Ganze nun ausmultiplizieren und unter weiteren Bediungen: |e1|² = 1 und e1 senkrecht zu e2 ergibt sich = 2+0+0+3 = 5
Dies kann man auch direkt durch komponentenweise Multiplikation und Addition erreichen: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = 2 [mm] \cdot{} [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot{} [/mm] 3 = 5
Nun wird aber die Basis gewechselt: b1 und b2 werden selbst zur Basis des [mm] \IR^2 [/mm] und haben dann die Koordinaten:
b1 = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
b2 = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn man nun hier das Skalarprodukt bilden will ergibt sich: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 0
Dies stimmt doch aber nicht, da die beiden Vektoren b1 und b2 nicht senkrecht aufeinander stehen.
Und genau hier verstehe ich das Ganze nicht mehr so genau. Wenn ich zum Beispiel zwei Vektoren gegeben habe, müsste ich doch dann erstmal die Basisvektoren dieser bestimmen, damit die komponentweise Multiplikation und anschließenende Addition durchführen darf?
Wie könnte man die Basis ermitteln?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo Zusammen,
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> es gibt nun für das Skalarprodukt die beiden
> Einschränkungen:
>
> 1. Basisvektoren senkrecht zueinander
> 2. Betrag der Basis = 1
>
> Wir haben nun in der Vorlesung folgendes skizziert:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Es ergeben sich zwei unterschiedliche Skalarprodukte für
> b1 und b2, je nach Wahl der Basis. Als Erstes wähle ich
> die Basis e1 und e2, dadurch lassen sich b1 und b2 wie
> folgt darstellen:
>
> b1 = 2 [mm]\cdot{}[/mm] e1 + 1 [mm]\cdot{}[/mm] e 2
>
> b2 = 1 [mm]\cdot{}[/mm] e1 + 3 [mm]\cdot{}[/mm] e2
>
> Nun das Skalarprodukt bilden: b1 [mm]\cdot{}[/mm] b2 = (2 [mm]\cdot{}[/mm] e1
> + 1 [mm]\cdot{}[/mm] e 2) [mm]\cdot{}[/mm] (1 [mm]\cdot{}[/mm] e1 + 3 [mm]\cdot{}[/mm] e2)
>
> Das Ganze nun ausmultiplizieren und unter weiteren
> Bediungen: |e1|² = 1 und e1 senkrecht zu e2 ergibt sich =
> 2+0+0+3 = 5
>
> Dies kann man auch direkt durch komponentenweise
> Multiplikation und Addition erreichen: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> = 2 [mm]\cdot{}[/mm] 1 + 1 [mm]\cdot{}[/mm] 3 = 5
>
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> Nun wird aber die Basis gewechselt: b1 und b2 werden selbst
> zur Basis des [mm]\IR^2[/mm] und haben dann die Koordinaten:
>
> b1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> b2 = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
es geht um diese b1 und b2?
und die sollen nicht senkrecht zueinander sein? das ist doch eher ein paradebeispiel dafür, oder versteh ich irgendwas falsch?
>
> Wenn man nun hier das Skalarprodukt bilden will ergibt
> sich: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> = 0
>
> Dies stimmt doch aber nicht, da die beiden Vektoren b1 und
> b2 nicht senkrecht aufeinander stehen.
>
> Und genau hier verstehe ich das Ganze nicht mehr so genau.
> Wenn ich zum Beispiel zwei Vektoren gegeben habe, müsste
> ich doch dann erstmal die Basisvektoren dieser bestimmen,
> damit die komponentweise Multiplikation und
> anschließenende Addition durchführen darf?
>
> Wie könnte man die Basis ermitteln?
>
> Gruß
> itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da gibt es ein Missverstaendnis:
eine Basis besteht im n dim Raum aus n linear unabhaengigen Basisvektoren. diese mussen weder senkrecht aufeinander stehen, noch den Betrag 1 haben.
alerdings gilt Skalarprodukt(a,b)=|a|*|b|*cos [mm] \alpha [/mm] mit der Ueblichen Winkeldefinition im [mm] R^2 [/mm] nur in einer Basis mit senkrechten Basisvektoren und Betrag 1.
meist ist es nur ueblich die "Standardbasis" mit [mm] (1,0)^T 90,1)^T [/mm] zu schreiben.
niemand verbietet aber auch deine b so zu schreiben.
wenn du dann die e als Linearkombination der b schreibst, und ihr Skalarprodukt bildest sind es weder Einheitsvektoren, gilt e1*e2=cos90.
Kurz: das Skalarprodukt ist von der Wahl der Basis abhaengig.
Gruss leduart
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Hallo
> Nun wird aber die Basis gewechselt: b1 und b2 werden selbst
> zur Basis des [mm]\IR^2[/mm] und haben dann die Koordinaten:
>
> b1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> b2 = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn man nun hier das Skalarprodukt bilden will ergibt
> sich: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> = 0
>
> Dies stimmt doch aber nicht, da die beiden Vektoren b1 und
> b2 nicht senkrecht aufeinander stehen.
Doch, stehen sie.
Diese b1 und b2 entsprechen nicht mehr den b1 und b2 der Zeichnung.
Wenn b1 = (1,0) und b2 = (0,1), dann sind sie senkrecht aufeinander.. (Die x-Achse steht ja senkrecht auf die y-Achse..)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 07.07.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
wenn ich nun aber die beiden Vektoren b1 und b2 (siehe Skizze) betrachte stehen diese nicht senkrecht aufeinander, somit kann ich doch gar kein Skalarprodukt bilden.
Also gibt es doch dann für weitere Vektoren v [mm] \in [/mm] Vektorraum dies sich in dieser Basis (linear uabhängig und Erzeugendensystem) befinden, kein Skalarprodukt, da die Basisvektoren zueinander nicht senkrecht sind, oder täusche ich mich da?
Wie kann man sich dies sonst erklären?
Wenn man nun beispielsweise eine Aufgabe hätte von zwei gegeben Vektoren und müsste nun das Skalarprodukt dieser bilden, dann müsste vorher doch die Basis überprüft werden, ob senkrecht? Wie würde man dies denn rauskriegen?
Gruß
itse
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> Hallo
>
>
> > Nun wird aber die Basis gewechselt: b1 und b2 werden selbst
> > zur Basis des [mm]\IR^2[/mm] und haben dann die Koordinaten:
> >
> > b1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > b2 = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Wenn man nun hier das Skalarprodukt bilden will ergibt
> > sich: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > = 0
> >
> > Dies stimmt doch aber nicht, da die beiden Vektoren b1 und
> > b2 nicht senkrecht aufeinander stehen.
>
> Doch, stehen sie.
>
> Diese b1 und b2 entsprechen nicht mehr den b1 und b2 der
> Zeichnung.
> Wenn b1 = (1,0) und b2 = (0,1), dann sind sie senkrecht
> aufeinander.. (Die x-Achse steht ja senkrecht auf die
> y-Achse..)
>
> Grüsse, Amaro
Hallo zusammen,
ich befürchte, dass die Verwirrung bei
itse damit eher noch verschlimmert wird.
Es ist in einem gegebenen Raum (z.B.
in einem Bereich unserer natürlichen
Umgebung) möglich, unterschiedliche
Koordinatensysteme zu benützen.
Ist eine Metrik vorgegeben, nimmt
man sinnvollerweise meist ein dieser
Metrik angepasstes, orthonormiertes
Koordinatensystem mit Basisvektoren
der Länge 1, welche paarweise senkrecht
stehen und allenfalls noch einer "Schrau-
benregel" (Rechte-Hand-Regel) bezüglich
Orientierung gehorchen. In einem solchen
Koordinatensystem gelten bezüglich
Skalarprodukt, Längen- und Winkel-
berechnungen die üblichen Regeln aus
der Vektorgeometrie.
Für manche Zwecke mag es aber ange-
bracht sein, ein Koordinatensystem zu
benützen, das zwar linear, aber nicht
orthonormiert ist. Für alle Inzidenz- und
Schnittaufgaben (Gerade/Gerade, Gerade/Ebene etc)
kann man in einem solchen System wie
gewohnt rechnen. Doch immer dann
wenn es um Messungen (Strecken,
Winkel, Flächeninhalte, Volumina)
geht, braucht man dann an Stelle des
"Standard-Skalarproduktes" ein der
Metrik angepasstes. Dann gilt für das
Skalarprodukt der zwei Vektoren
$\vec{u}=\vektor{u_1\\u_2}=u_1*\vec{b}_1+u_2*\vec{b}_2$
$\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2}=v_1*\vec{b}_1+v_2*\vec{b}_2$
$<\vec{u},\vec{v}>\ =\ (u_1*\vec{b}_1+u_2*\vec{b}_2)\circ(v_1*\vec{b}_1+v_2*\vec{b}_2)$
\circ : gewöhnliches Skalarprodukt im
"alten", orthonormierten System
<...\,,\,...> : "neues" Skalarprodukt für
Messungen im nicht orthonormierten System
oder:
$<\vec{u},\vec{v}>\ =\ (u_1\,v_1)\, \vec{b}_1\circ\vec{b}_1+(u_1\,v_2+u_2\,v_1)\ \vec{b}_1\circ\vec{b}_2+(u_2\,v_2)\, \vec{b}_2\circ\vec{b}_2$
Mit den vorliegenden Basisvektoren
$\vec{b}_1=\vektor{2\\1}$ und $\vec{b}_2=\vektor{1\\3}$
würde dies also bedeuten:
$<\vec{u},\vec{v}>\ =\ 5\,u_1\,v_1+5(u_1\,v_2+u_2\,v_1)+10\,u_2\,v_2$
Damit lassen sich nun Längen und Winkel
berechnen. Ein Beispiel:
Seien \vec{u}=\vektor{2\\1} und \vec{v}=\vektor{4\\-1}
bezüglich der Basis \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\}
Gesucht sei der Winkel \phi=\angle(\vec{u},\vec{v})
Lösung:
$|u|\ =\ \sqrt{<\vec{u},\vec{u}>}\ =\ \sqrt{5*2*2+5*(2*1+1*2)+10*1*1}\ =\ \sqrt{50}$
$|v|\ =\ \sqrt{<\vec{v},\vec{v}>}\ =\ \sqrt{5*4*4+5*(4*(-1)+(-1)*4)+10*(-1)*(-1)}\ =\ \sqrt{50}$
$\ <\vec{u},\vec{v}>}\ =\ 5*2*4+5*(2*(-1)+1*4)+10*1*(-1)\ =\ 40$
$\ cos(\phi)\ =\ \bruch{<\vec{u},\vec{v}>}{|u|*|v|}=\bruch{40}{50}=0.8$
$\ \phi=arccos(0.8)\ \approx\ 36.87$°
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:13 Mi 08.07.2009 | | Autor: | itse |
Vielen Dank Al-Chwarizmi,
du hast Licht ins Dunkel gebracht.
Für mich ist die Frage beantwortet, wie kann ich diese auf beantwortet stellen?
Grüße
itse
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