Skalarprodukt = 0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 03.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR^n [/mm] eine diffbare Funktion mit ||f(t)||=1 für alle t [mm] \in \IR. [/mm] Zeige:
<f'(t),f(t)>=0 für alle t [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo,
zunächst folgt aus ||f(t)||=1 ja mal dass [mm] \summe_{i=1}^{n} f_i^2(t) [/mm] = 1 ist.
<f'(t),f(t)>= [mm] \summe_{i=1}^{n} f_i'(t) [/mm] * [mm] f_i(t)
[/mm]
Jetzt muss ich ja vermutlich noch irgendwie die Differenzierbarkeit von f mit einbringen oder? Vielleicht als Differenzenquotient darstellen?
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Hallo,
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR^n[/mm] eine diffbare Funktion mit
> ||f(t)||=1 für alle t [mm]\in \IR.[/mm] Zeige:
> <f'(t),f(t)>=0 für alle t [mm]\in \IR.[/mm]
> Hallo,
>
> zunächst folgt aus ||f(t)||=1 ja mal dass [mm]\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)[/mm]
> = 1 ist.
>
> <f'(t),f(t)>= [mm]\summe_{i=1}^{n} f_i'(t)[/mm] * [mm]f_i(t)[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja vermutlich noch irgendwie die
> Differenzierbarkeit von f mit einbringen oder? Vielleicht
> als Differenzenquotient darstellen?
Nein, das ist alles viel einfacher. Stelle den Betrag mal konkret auf, setze ihn gleich 1 und quadriere. Danach das ganze (auf beiden Seiten) nach t ableiten - fertig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 03.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Welchen Betrag meinst du denn?
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Hallo,
> Welchen Betrag meinst du denn?
[mm] \left|f(t)\right|=\wurzel{\sum_{k=1}^{n}x_k^2(t)}
[/mm]
EDIT: sorry, ich sehe gerade, dass du das ja schon gemacht hast (nur die Komponenten sind anders benannt).
Du musst nichts weiter mehr tun als abzuleiten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 03.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dann erhalte ich als Ableitung:
[mm] \bruch{f_i'(t)^2}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann erhalte ich als Ableitung:
>
> [mm]\bruch{f_i'(t)^2}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)}}[/mm]
Nein. Wenn Du die Gleichung
[mm] f_1^2(t)+f_2^2(t)+...+f_n^2(t)=1
[/mm]
nach t differenzierst, bekommst Du was ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 03.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dann erhalte ich
[mm] f_1(t)*f_1'(t)+...+f_n(t)*f_n'(t)=0,
[/mm]
womit ja alles gezeigt ist.
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Hallo,
> Dann erhalte ich
>
> [mm]f_1(t)*f_1'(t)+...+f_n(t)*f_n'(t)=0,[/mm]
>
> womit ja alles gezeigt ist.
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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