Skalarprodukt Korrektur < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 30.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es soll nachgerechnet werden, dass das Skalarprodukt $\IR^{n}$ folgende Eigenschaften besitzt:
$1) <u,v>=<v,u>$ $\forall v,w \in \IR^{n}$
$2) <\lambda u +\mu w , v> = \lambda <u,v> + \mu <w,v>$ $ \forall \lambda \in \IR, u,v,w \in \IR^{n}$
3)$ <u,u> > 0 $ $\forall v \in \IR^{n},v \in \IR^{n}, v \ne 0$ |
Hi,
1:
$<u,v> = \summe_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}=\summe_{k=1}^{n}{v_{k}u_{k}=<u,v>$
2:
$<\lambda u + \mu w, v> = \summe_{k=1}^{n}{(\lambda u_{k}+\mu w_{k})\cdot v_{k}}=\summe_{k=1}^{n}{\lambda u_{k}\cdot v_{k} + \mu w_{k} \cdot v_{k}}= \summe_{k=1}^{n}{\lambda u_{k}v_{k}} + \summe_{k=1}^{n}{\mu w_{k} v_{k}}= \lambda \summe_{k=1}^{n}{u_{k}v_{k}}+\mu \summe_{k=1}^{n}{w_{k}v_{k}}=\lambda<u,v> + \mu <w,v>$
3:
$<u,u> = \summe_{k=1}^{n}{ u_{k}u_{k}}=\summe_{k=1}^{n}{{u_k}^{2}}$
$\Rightarrow \forall u \ne 0,0 < <u,u> $
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke!
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Hallo kushkush,
> Es soll nachgerechnet werden, dass das Skalarprodukt
> [mm]\IR^{n}[/mm] folgende Eigenschaften besitzt:
>
> [mm]1) =[/mm] [mm]\forall v,w \in \IR^{n}[/mm]
> [mm]2) <\lambda u +\mu w , v> = \lambda + \mu [/mm]
> [mm]\forall \lambda \in \IR, u,v,w \in \IR^{n}[/mm]
> 3)[mm] > 0[/mm]
> [mm]\forall v \in \IR^{n},v \in \IR^{n}, v \ne 0[/mm]
>
> Hi,
>
>
> 1:
>
> [mm] = \summe_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}=\summe_{k=1}^{n}{v_{k}u_{k}=[/mm]
>
> 2:
>
> [mm]<\lambda u + \mu w, v> = \summe_{k=1}^{n}{(\lambda u_{k}+\mu w_{k})\cdot v_{k}}=\summe_{k=1}^{n}{\lambda u_{k}\cdot v_{k} + \mu w_{k} \cdot v_{k}}= \summe_{k=1}^{n}{\lambda u_{k}v_{k}} + \summe_{k=1}^{n}{\mu w_{k} v_{k}}= \lambda \summe_{k=1}^{n}{u_{k}v_{k}}+\mu \summe_{k=1}^{n}{w_{k}v_{k}}=\lambda + \mu [/mm]
>
>
> 3:
> [mm] = \summe_{k=1}^{n}{ u_{k}u_{k}}=\summe_{k=1}^{n}{{u_k}^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \forall u \ne 0,0 < [/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 30.10.2010 | | Autor: | kushkush |
OK,
Kann man das noch besser schreiben?
Danke!!
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