Skalarprodukt, abstraktes Bsp < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Nabend.
Ich verstehe folgende Schritte nicht, die wir in der Schule für das Skalarprodukt gemacht haben
[mm] $|\vec{a}|*(-1) \lambda |\vec{b}|*cos(\angle (\vec{a}, \lambda *\vec{b}))$
[/mm]
[mm] =$-|\vec{a}|*\lambda |\vec{b}|*(-cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})))$
[/mm]
Warum genau ist das [mm] \lambda [/mm] im Kosinus verschwunden?? Also wir machten ne fallunterscheidung und wollten eine allgemeine Rechnung mit [mm] \lambda [/mm] < 0 aufstellen (daher auch die -1), aber warum stand da nicht beim Kosinus [mm] -1\lambda? [/mm] Hm, na ja, wie kommt man von Schritt 1 auf 2?
Also ich weiß wohl, dass [mm] $cos(\pi+\alpha)=- [/mm] cos [mm] \alpha$ [/mm] is.
Und ist nun vielleicht die Annahme, dass der Winkel zwischen Vektor a und b durch das Lambda so "günstig" ist, dass wir dieses pi hätten???
Grüße Johann
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> [mm]|\vec{a}|*(-1) \lambda |\vec{b}|*cos(\angle (\vec{a}, \lambda *\vec{b}))[/mm]
>
> =[mm]-|\vec{a}|*\lambda |\vec{b}|*(-cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})))[/mm]
>
> Warum genau ist das [mm]\lambda[/mm] im Kosinus verschwunden?? Also
> wir machten ne fallunterscheidung und wollten eine
> allgemeine Rechnung mit [mm]\lambda[/mm] < 0 aufstellen (daher auch
> die -1), aber warum stand da nicht beim Kosinus [mm]-1\lambda?[/mm]
> Hm, na ja, wie kommt man von Schritt 1 auf 2?
> Also ich weiß wohl, dass [mm]cos(\pi+\alpha)=- cos \alpha[/mm] is.
Hallo Johannes,
ein wenig Vorgeplänkel zunächst:
nimm Dir mal zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c}, [/mm] welche irgendeinen Winkel miteinander bilden, den Winkel [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c}).
[/mm]
Nimm nun ein positives [mm] \mu [/mm] und betrachte [mm] \angle (\vec{a}, \mu\vec{c}).
[/mm]
Siehst Du ein, daß [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c})=\angle (\vec{a}, \mu\vec{c}) [/mm] ?
Es hat sich ja nur die Länge von [mm] \vec{c} [/mm] geändert, nicht die Richtung.
So. nun gucken wir uns [mm] \angle (\vec{a}, -\vec{c}) [/mm] an. Mal's es Dir mal auf!
Es ist doch [mm] \angle (\vec{a}, -\vec{c})=\pi +\angle (\vec{a}, \vec{c})
[/mm]
Wenn Du diese Informationen für Deine Aufgabe mit negativem(!) [mm] \lambda [/mm] verwurstest, solltest Du es verstehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
> > [mm]|\vec{a}|*(-1) \lambda |\vec{b}|*cos(\angle (\vec{a}, \lambda *\vec{b}))[/mm]
>
> >
> > =[mm]-|\vec{a}|*\lambda |\vec{b}|*(-cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})))[/mm]
>
> >
> > Warum genau ist das [mm]\lambda[/mm] im Kosinus verschwunden?? Also
> > wir machten ne fallunterscheidung und wollten eine
> > allgemeine Rechnung mit [mm]\lambda[/mm] < 0 aufstellen (daher auch
> > die -1), aber warum stand da nicht beim Kosinus [mm]-1\lambda?[/mm]
> > Hm, na ja, wie kommt man von Schritt 1 auf 2?
> > Also ich weiß wohl, dass [mm]cos(\pi+\alpha)=- cos \alpha[/mm]
> is.
>
> Hallo Johannes,
>
> ein wenig Vorgeplänkel zunächst:
>
> nimm Dir mal zwei Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c},[/mm] welche
> irgendeinen Winkel miteinander bilden, den Winkel [mm]\angle (\vec{a}, \vec{c}).[/mm]
>
> Nimm nun ein positives [mm]\mu[/mm] und betrachte [mm]\angle (\vec{a}, \mu\vec{c}).[/mm]
>
> Siehst Du ein, daß [mm]\angle (\vec{a}, \vec{c})=\angle (\vec{a}, \mu\vec{c})[/mm]
> ?
> Es hat sich ja nur die Länge von [mm]\vec{c}[/mm] geändert, nicht
> die Richtung.
>
> So. nun gucken wir uns [mm]\angle (\vec{a}, -\vec{c})[/mm] an. Mal's
> es Dir mal auf!
Klasse, genau so habe ich es gebraucht. Eine Spitzenerklärung! Recht herzlichen dank, das bringt mir die ganze Sache sehr viel näher.
> Es ist doch [mm]\angle (\vec{a}, -\vec{c})=\pi +\angle (\vec{a}, \vec{c})[/mm]
Daran beiße ich mir noch die Zähne aus.
Sagen wir einfach mal der Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] -\vec{c} [/mm] ist 10° . Wenn ich das einmal so in die Formel einsetze, ergibt sich:
[mm] 10°=\pi [/mm] + 170°
Und ich davon den Kosinus nehme
cos(10°) = cos(180°+170°)
0,985=0,985
Stimmt also.
Aber wenn ich nun sage, der Winkel ist 0°, dann passiert ja folgendes:
0° = pi + 0°
cos(0°) = cos(180°)
1 [mm] \not= [/mm] -1
Wo ist jetzt mein Fehler?
Wenn der Winkel zwi. [mm] \vec{a}, [/mm] - [mm] \vec{c}0 [/mm] Grad beträgt, beträgt dann der Winkel zw. [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] 180°? Ist das mein Fehler?
> Wenn Du diese Informationen für Deine Aufgabe mit
> negativem(!) [mm]\lambda[/mm] verwurstest, solltest Du es
> verstehen.
Leider nicht so ganz. :(
Danke aber trotzdem, hat mir dennoch schon stark beim Verständnis geholfen.
Gruß
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> > So. nun gucken wir uns [mm]\angle (\vec{a}, -\vec{c})[/mm] an. Mal's
> > es Dir mal auf!
> > Es ist doch [mm]\angle (\vec{a}, -\vec{c})=\pi +\angle (\vec{a}, \vec{c})[/mm]
>
> Daran beiße ich mir noch die Zähne aus.
Versuchen wir's nochmal.
Mal Dir [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] auf. (Meinetwegen im Winkel von 20°, der Anschauung wegen.)
Jetzt ins selbe Bild [mm] -\vec{c}. [/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] und [mm] -\vec{c} [/mm] bilden einen Winkel von 180°, also bilden [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] -\vec{c} [/mm] einen Winkel von [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c})+180°. [/mm] (Im speziellen Fall: 20°+180°=200°)
also ist [mm] cos(\angle (\vec{a}, -\vec{c}))=cos( \angle (\vec{a}, \vec{c})+180°)=-cos(\angle (\vec{a}, \vec{c})), [/mm] speziell cos200°=cos(180°+20°)=-cos20°.
In dem von Dir gegebenen Fall mit [mm] \angle (\vec{a}, -\vec{c})=10°
[/mm]
hat man [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c})=180°+10°, [/mm] mal es Dir auf! Du mußt die Richtung des Winkels beachten, Du hast die 10° zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] -\vec{c} [/mm] und den gestreckten Winkel zwischen [mm] -\vec{c} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] noch dazu. Also [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c})=180°+10°=190°
[/mm]
170° ist ein anderer Winkel groß, nämlich [mm] \angle (\vec{c}, \vec{a})!
[/mm]
Willst Du unbedingt was mit 170 und [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c}), [/mm] so mußt Du schreiben [mm] \angle (\vec{a}, \vec{c})=-170°.
[/mm]
In der Hoffnung, daß ich zur Klärung beitragen konnte
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 17.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Nabend.
> In der Hoffnung, daß ich zur Klärung beitragen konnte
Das war perfekt. Danke für das Engagement.
Grüße v. Johann
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