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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Mary001 |
| Aufgabe | | Skalarprodukt von [mm] (x^2)-1 [/mm] und dem m-ten Hermitepolynom berechnen (Gewichtsfunktion des Skalarproduktes ist die Dichte der Standardnormalverteilung ) |
Ich bräuchte dringend Hilfe, wie ich das Skalarprodukt von [mm] (x^2)-1 [/mm] und dem m-ten Hermitepolynom berechnen kann, wenn die Gewichtsfunktion des Skalarproduktes die Dichte der Standardnormalverteilung ist.
Ich komm einfach ständig auf das Ergebnis 0, bin mir aber sicher, dass das nicht richtig ist.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Ideen und Ansätze! 
Meine Ideen:
Ich habe [mm] e^{(x^2)/2} [/mm] aus der Definition des Hermitepolynoms mit [mm] e^{-(x^2)/2} [/mm] verrechnet und wende dann die partielle Integration an. Der erste Summand geht meines Erachtens gegen Null, da man ein Polynom in x mal [mm] e^{-(x^2)/2} [/mm] hat und für x alle rellen Zahlen einsetzen kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/search.php?searchid=1235475
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 25.07.2011 | | Autor: | hippias |
Unterscheide in Deiner Rechnung die Fälle [mm] m\ge [/mm] 2 und m<2 - oder berechne doch einmal das Skalarprodukt direkt mit [mm] H_{0}= [/mm] 1. Ich hoffe, dies hilft Dir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 26.07.2011 | | Autor: | Mary001 |
Danke für deine Tipps! Leider konnte ich nur für den Fall m<2 ausrechnen, dass das Skalarprodukt Null ist. Bei dem Fall m≥2 fehlt mir leider immernoch der Durchblick. Wie kann ich in diesem Fall vorgehen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Di 26.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Tipps! Leider konnte ich nur für den Fall
> m<2 ausrechnen, dass das Skalarprodukt Null ist. Bei dem
> Fall m≥2 fehlt mir leider immernoch der Durchblick. Wie
> kann ich in diesem Fall vorgehen?
Du hast doch (nachdem sich die Faktoren [mm] $e^{-x^2/2}*e^{+x^2/2}$ [/mm] weggekürzt haben), ein Integral der Form
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} p(x) \bruch{d^m}{dx^m} e^{-x^2/2} dx [/mm]
mit einem Polynom $p(x)$.
Da die Randterme verschwinden, bleibt nach m-maliger partieller Integration
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} \left(\bruch{d^m}{dx^m}p(x)\right) e^{-x^2/2} dx [/mm].
1. Beobachtung: ist der Grad des Polynoms p kleiner als m, so ist die m-te Ableitung 0, und das Integral verschwindet.
2. Beobachtung: ist der Grad des Polynoms p gleich m. so ist die m-te Ableitung konstant, d.h. das Integral verschwindet nicht. Genauer gesagt, ist [mm] $a_m$ [/mm] der Koeffizient von [mm] $x^m$ [/mm] in p , so ist die m-te Ableitung gleich $m! [mm] a_m$ [/mm] und das Integral gleich [mm] $\wurzel{2\pi}m!a_m$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 26.07.2011 | | Autor: | Mary001 |
Tausend Dank für deine Hilfe Rainer! Jetzt passt alles Habe zum ersten Mal Gebrauch gemacht von einem Matheforum und bin wirklich begeistert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 26.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Skalarprodukt von [mm](x^2)-1[/mm] und dem m-ten Hermitepolynom
> berechnen (Gewichtsfunktion des Skalarproduktes ist die
> Dichte der Standardnormalverteilung )
> Ich bräuchte dringend Hilfe, wie ich das Skalarprodukt
> von [mm](x^2)-1[/mm] und dem m-ten Hermitepolynom berechnen kann,
> wenn die Gewichtsfunktion des Skalarproduktes die Dichte
> der Standardnormalverteilung ist.
> Ich komm einfach ständig auf das Ergebnis 0, bin mir aber
> sicher, dass das nicht richtig ist.
> Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Ideen und
> Ansätze!
>
> Meine Ideen:
> Ich habe [mm]e^{(x^2)/2}[/mm] aus der Definition des
> Hermitepolynoms mit [mm]e^{-(x^2)/2}[/mm] verrechnet und wende dann
> die partielle Integration an. Der erste Summand geht meines
> Erachtens gegen Null, da man ein Polynom in x mal
> [mm]e^{-(x^2)/2}[/mm] hat und für x alle rellen Zahlen einsetzen
> kann.
Meinst du mit dem ersten Summanden den Randterm? Der verschwindet in der Tat im Limes [mm] $x\to\pm\infty$.
[/mm]
Vorneweg eine Bemerkung: Es gibt zwei verschiedene Definitionen der ![[]](/images/popup.gif) Hermitepolynome, die sich darin unterscheiden, ob man von [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] oder von [mm] $e^{-x^2/2}$ [/mm] als Gewichtsfunktion ausgeht. Ich gehe davon aus, das die zweite Sorte gemeint ist.
Es gilt für das Skalarprodukt zweier Polynome
[mm] = \integral_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2} p(x) q(x) dx [/mm],
und insbesondere für zwei Hermitepolynome
[mm] = \wurzel{2\pi} n! \delta_{nm} [/mm] ,
also nur von 0 verschieden, wenn n=m.
Nun ist aber [mm] $x^2-1=H_2(x)$. [/mm] Was folgt also für das Skalarprodukt mit [mm] $H_m$?
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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