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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektrorraum mit dem Skalarprodukt <.,.> und der induzierten Norm ||.||. Weiter sei f: V [mm] \to [/mm] V eine Abbildung, für die ||f(x) - f(y)|| = ||x - y|| und f(-x) = -f(x) für alle x,y [mm] \in [/mm] V gilt.
(a) Zeigen Sie, dass ||f(x)|| = ||x|| für alle x [mm] \in [/mm] V gilt.
(b) Zeigen Sie, f ist linear.
(c) Zeigen Sie, f ist eine Isometrie.
(d) Sei nun V endlich-dimensional. zeigen Sie, dass f bijektiv ist. |
Die Teilaufgaben (b) und (c) habe ich bereits gelöst. Jedoch fehlen mir die Ansätze bei (a) und vor allem bei (d). Wahrscheinlich ist (a) trivial nur ich komme einfach nicht darauf. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mo 18.05.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sei V ein euklidischer Vektrorraum mit dem Skalarprodukt
> <.,.> und der induzierten Norm ||.||. Weiter sei f: V [mm]\to[/mm] V
> eine Abbildung, für die ||f(x) - f(y)|| = ||x - y|| und
> f(-x) = -f(x) für alle x,y [mm]\in[/mm] V gilt.
>
> (a) Zeigen Sie, dass ||f(x)|| = ||x|| für alle x [mm]\in[/mm] V
> gilt.
> (b) Zeigen Sie, f ist linear.
> (c) Zeigen Sie, f ist eine Isometrie.
> (d) Sei nun V endlich-dimensional. zeigen Sie, dass f
> bijektiv ist.
> Die Teilaufgaben (b) und (c) habe ich bereits gelöst.
> Jedoch fehlen mir die Ansätze bei (a) und vor allem bei
> (d). Wahrscheinlich ist (a) trivial nur ich komme einfach
> nicht darauf. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
zu (a):
Es gilt $f(0)=0$ klar warum?
Daraus folgt direkt die Behauptung.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 19.05.2015 | | Autor: | Neutron |
Sorry ist mir leider nicht klar :/ Woraus folgt das denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sorry ist mir leider nicht klar :/ Woraus folgt das denn?
Aus f(-x) = -f(x). Mit x=0 folgt:
f(0)=-f(0).
FRED
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Hallo,
f ist also ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes.
Es gilt: f bijektiv<==> f injektiv (<==> f surjektiv),
und weiter : f injektiv <==> kern [mm] f=\{0\}.
[/mm]
Das sollte helfen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 19.05.2015 | | Autor: | Neutron |
Danke für deine Hilfe! Jedoch weis ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass Kern(f) = 0 ist. Aus welcher Eigenschaft kann man das ablesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe! Jedoch weis ich nicht genau, wie
> ich zeigen soll, dass Kern(f) = 0 ist. Aus welcher
> Eigenschaft kann man das ablesen?
$ ||f(x)|| = ||x||$ für alle $x [mm] \in [/mm] V$
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Wieso hast Du die Frage wieder auf "nichtbeantwortet" gestellt ?
Sie wurde schon gestern ausreichend beantwortet.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Di 19.05.2015 | | Autor: | Neutron |
Sorry weil ich noch weitere Fragen hatte. Aber Danke für eure Tipps! Habt mir echt weitergeholfen!
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