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(Frage) beantwortet | Datum: | 14:36 Di 25.11.2008 | Autor: | Dalim |
Aufgabe | Man beweise für x, y [mm] \in \IR^{n} [/mm] folgende Äquivalenz.
||x - y|| = ||x + y|| [mm] \gdw [/mm] <x, y> = 0 |
Ich hab mir überlegt, dass es 2.Fälle gibt, in den man diese Gleichung stimmt: 1.Fall - x und y sind Nullvektoren oder 2.Fall - x oder y ist ein Nullvektor. Stimmt das so? und wie soll ich dann Beweis durchfuhren?
MfG,
Dalim
[mm] {n\rightarrow\infty}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man beweise für x, y [mm]\in \IR^{n}[/mm] folgende Äquivalenz.
>
> ||x - y|| = ||x + y|| [mm]\gdw[/mm] <x, y> = 0
> Ich hab mir überlegt, dass es 2.Fälle gibt, in den man
> diese Gleichung stimmt:
Hallo,
.
Du sprichst gerade über [mm] \parallel x-y\parallel=\parallelx+y\parallel?
[/mm]
> 1.Fall - x und y sind Nullvektoren
> oder 2.Fall - x oder y ist ein Nullvektor. Stimmt das so?
Nein.
Die Gleichung stimmt z.B. auch für [mm] x=\vektor{1\\0}, y=\vektor{0\\1}.
[/mm]
Zu zeigen ist
1. [mm] \parallel x-y\parallel=\parallelx+y\parallel [/mm] ==> <x,y>=0
2. <x,y>=0 ==> [mm] \parallel x-y\parallel=\parallelx+y\parallel [/mm]
> und wie soll ich dann Beweis durchfuhren?
Du brauchst hierfür die Definition der Norm. Wie ist denn [mm] \parallel v\parallel [/mm] definert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | Datum: | 15:45 Di 25.11.2008 | Autor: | Dalim |
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> Du brauchst hierfür die Definition der Norm. Wie ist denn
> [mm]\parallel v\parallel[/mm] definert?
>
Na ja, [mm] \wurzel{v_{1}^{2}+...+v_{n}^{2}}
[/mm]
aber wenn ich das so ausrechne, kommt sowas raus [mm] -2x_{1}y_{1}-...-2x_{n}y_{n}=2x_{1}y_{1}+...+2x_{n}y_{n}, [/mm] und folgt daraus, dass <x,y>=0 ?
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> > Du brauchst hierfür die Definition der Norm. Wie ist denn
> > [mm]\parallel v\parallel[/mm] definert?
> >
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> Na ja, [mm]\wurzel{v_{1}^{2}+...+v_{n}^{2}}[/mm]
Hallo,
es kam bei Euch doch bestimmt auch
[mm]\parallel v\parallel[/mm] ^2=<v,v> vor, oder?
Ich ermute, daß Ihr hier mit Eigenschaftn des Skalarproduktes arbeiten sollt.
> aber wenn ich das so ausrechne, kommt sowas raus
> [mm]-2x_{1}y_{1}-...-2x_{n}y_{n}=2x_{1}y_{1}+...+2x_{n}y_{n},[/mm]
> und folgt daraus, dass <x,y>=0 ?
Bring alles auf eine Seite, teile durch 4 und überlege, warum das =<x,y> ist.
Gruß v. Angela
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