Skalarproduktraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | | Hi, warum ist nicht auf jedem Vektorraum ein Skalarprodukt definiert? |
Ist das weil aus den Vektorraumaxiomen die Skalarproduktaxiome nicht folgen? Oder woran liegt das?
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Hallo,
> Hi, warum ist nicht auf jedem Vektorraum ein Skalarprodukt definiert?
> Ist das weil aus den Vektorraumaxiomen die
> Skalarproduktaxiome nicht folgen? Oder woran liegt das?
Ein Skalarprodukt ist für einen vorgegeben Vektorraum nicht kanonisch, d.h. es gibt i. A. mehrere Möglichkeiten ein Skalarprodukt zu definieren.
Beispiel [mm] \IR^n:
[/mm]
Einerseits gibt es das bekannte Standardskalarprodukt [mm] (x,y\in\IR^n)
[/mm]
[mm] =x^ty=\sum_{i=1}^n x_iy_i,
[/mm]
andererseits ist für jede symmetrische positiv semidefinite Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] ein weiteres Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] gegeben durch
$<x,y>_A := <Ax,y>=x^tAy$.
Wie Du siehst macht es Sinn, die Theorie schrittweise aufzubauen, da sich mehrere Möglichkeiten ergeben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Lovella |
danke erstmal für deine Antwort Kamaleonti!
Aber wie kommst du jetzt auf diese symmetrische positiv semidefinite Matrix $ [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] $? Du hast doch vom $ [mm] \IR^n [/mm] $ geredet, dessen Menge $ [mm] 1\times [/mm] n $- oder $ [mm] n\times [/mm] 1 $- Matrizen sind mit Koordinaten in $ [mm] \IR [/mm] $ und keine $ [mm] n\times [/mm] n $- Matrizen?
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> danke erstmal für deine Antwort Kamaleonti!
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> Aber wie kommst du jetzt auf diese symmetrische positiv
> semidefinite Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n} [/mm]? Du hast doch vom
> [mm]\IR^n[/mm] geredet, dessen Menge [mm]1\times n [/mm]- oder [mm]n\times 1 [/mm]-
> Matrizen sind mit Koordinaten in [mm]\IR[/mm] und keine [mm]n\times n [/mm]- Matrizen?
Die Matrix wird doch nur verwendet, um ein weiteres Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] zu definieren.
Du kannst dich als Übung ja davon überzeugen, warum $<x,y>_A$ tatsächlich ein Skalarprodukt ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Danke, ich glaube dir  .
Eine etwas andere Frage habe ich noch: Es heißt ja: eine Norm induziert eine Metrik. Bedeutet das, dass aus jeder Norm eine eindeutige Metrik folgt?
D.h.: Aus der euklidischen Norm $ [mm] \| [/mm] x [mm] \|_2 [/mm] := [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} [/mm] $ folgt ja die euklidische Metrik $ [mm] d(x,y)=\|x-y\| [/mm] $
Folgt dann aus z.B. aus der Maximumsnorm $ [mm] \| [/mm] x [mm] \|_{\infty} [/mm] := [mm] \max_{i=1, \dotsc, n} |x_i| [/mm] $ oder allen anderen Normen auch genau eine bestimmte andere Metrik?
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> Danke, ich glaube dir .
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> Eine etwas andere Frage habe ich noch: Es heißt ja: eine
> Norm induziert eine Metrik. Bedeutet das, dass aus jeder
> Norm eine eindeutige Metrik folgt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> D.h.: Aus der euklidischen Norm [mm]\| x \|_2 := \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} [/mm]
> folgt ja die euklidische Metrik [mm]d(x,y)=\|x-y\| [/mm]
>
> Folgt dann aus z.B. aus der Maximumsnorm [mm]\| x \|_{\infty} := \max_{i=1, \dotsc, n} |x_i|[/mm]
> oder allen anderen Normen auch genau eine bestimmte andere Metrik?
Genau, auch diese hat wieder die Gestalt
[mm] d_\infty(x,y)=\|x-y\|_\infty=\max_{i=1,...,n}|x_i-y_i|.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Wow vielen Dnak du hilfst mir echt weiter...!
Die ganzen Verknüpfungen zwischen Metrik, Norm usw. versuche ich mir nämliche gerade selbst beizubringen, und darauf bin ich auch nur gestoßen, weil ich bei Wiki was nachgeschaut hab und es mir dann erst langsam aufgefallen ist, dass es da ja Verbindungen zwischen normierten VR und mertischen VR usw. gibt. Das klingt vielleicht komisch für Dich.
In der Vorlesung wurde das alles alles immer vollkommen seperat gesehen. Erst kam Norm, dann Metrik, aber das die was gemeinam haben wurde nie gesagt.
Jetzt sehe ich gerade, dass ein Skalarproduktraum eine Norm induziert. Gibt es noch weitere solche "Induzierungen"? Gibt es etwas was ein Skalarprodukt induziert? Wo fängt das an, wo hört das auf? Gibt es da vielleicht ein Schema/ eine Liste?
P.S. Es ist sehr nett, dass du mir hilfst.
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> Jetzt sehe ich gerade, dass ein Skalarproduktraum eine Norm
> induziert. Gibt es noch weitere solche "Induzierungen"?
Vermutlich bist Du noch nicht damit in Berührung gekommen:
Es gibt noch ein etwas allgemeineres Konzept, nämlich das topologischer Räume.
Ein topologischer Raum ist ein Raum V mit einem Mengensystem T (der Topologie). Die Topologie erfüllt ein paar bestimmte Eigenschaften. Die Mengen in der Topologie sind dann die offenen Mengen.
In der Tat wird durch jede Metrik eine Topologie auf dem entsprechenden Raum erzeugt.
Ihr werdet das jetzt möglicherweise noch nicht benutzen. Später kann man bestimmte Resultate sehr allgemein für topologische Räume einführen/beweisen. Zum Beispiel gibt es auch schon für Abbildungen zwischen topologischen Räumen ein Konzept von Stetigkeit, usw.
Wenn es Dich interessiert, kannst Du im Internet viel dazu lesen. Oft werden auch komplette Vorlesungen zur Topologie angeboten,.
> Gibt es etwas was ein Skalarprodukt induziert?
Ist mir nicht bekannt, 
> Wo fängt das an, wo hört das auf? Gibt es da vielleicht ein Schema/
> eine Liste?
>
> P.S. Es ist sehr nett, dass du mir hilfst.
Gern
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Alles klar dankeschön
Da gibts bei uns im Vorlesungsverzeichnis tatsächlich eine Topologie-Vorlesung.
Eine letzte Frage noch, bevor ich zu Bett gehe. Das Standardskalaprodukt induziert die euklidische Norm. Wenn ich jetzt aber den Vektorraum [mm] \IQ^2 [/mm] habe zusammen mit dem Standardskalaprodukt. Dann müsste doch die euklidische Norm induziert werden.
Aber z.b. für [mm] \vektor{1 \\ 1}\in \IQ^2 [/mm] gilt dann [mm] \| \vektor{1 \\ 1} \|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\langle \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1} \rangle}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\notin \IQ
[/mm]
Also doch nicht immer induziert? Ohjeee jetzt bin ich verwirrt... :-(
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> Alles klar dankeschön
>
> Da gibts bei uns im Vorlesungsverzeichnis tatsächlich eine
> Topologie-Vorlesung.
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> Eine letzte Frage noch, bevor ich zu Bett gehe. Das
> Standardskalaprodukt induziert die euklidische Norm. Wenn
> ich jetzt aber den Vektorraum [mm]\IQ^2[/mm] habe zusammen mit dem
> Standardskalaprodukt. Dann müsste doch die euklidische
> Norm induziert werden.
> Aber z.b. für [mm]\vektor{1 \\ 1}\in \IQ^2[/mm] gilt dann [mm]\| \vektor{1 \\ 1} \|_2[/mm]
> = [mm]\sqrt{\langle \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1} \rangle}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\notin \IQ[/mm]
Alles gut. Eine Norm bildet immer nach [mm] \IR [/mm] ab, deswegen darf auch [mm] \sqrt{2} [/mm] als Wert vorkommen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Di 24.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Puuuuuh da fällt mir ein Stein vom Herzen!
Vielen Dank für alles! Gute Nacht!
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