Skaleninvarianz zeigen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Do 24.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, daß [mm] $C(K)=(\Vert K\Vert_2^2)^{4/5}(\mu_2(K))^{2/5}$ [/mm] invariant ist gegenüber Skalentransformationen, d.h.
[mm] $C(K)=C(C_s(K))$ [/mm] mit [mm] $C_s(K)=\frac{1}{s}K\left(\frac{\cdot}{s}\right)$. [/mm] |
Hallo!
Noch Anmerkung meinerseits zu den Bezeichnungen:
1.) [mm] $\Vert K\Vert_2^2=\int_{-\infty}^{\infty}K^2(u)\, [/mm] du$
2.) [mm] $\mu_2(K)=\int_{-\infty}^{\infty}u^2K(u)\, [/mm] du$,
wobei K jeweils einen Kern im Kontext der Kerndichteschätzung meint.
Wenn ich das korrekt verstanden habe, soll man jetzt einfach $K(u)$ ersetzen durch [mm] $\frac{1}{s}K\left(\frac{u}{s}\right)$ [/mm] und zeigen, daß das identisch ist. Okay, das mache ich durch Substitution:
[mm] $v=\frac{u}{s}, du=s\cdot [/mm] dv, [mm] u=s\cdot [/mm] v$
Dann:
[mm] $C(C_s(K))=\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{s^2}K^2(v)\cdot s\, dv\right)^{4/5}\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}s^2v^2\frac{1}{s}K(v)\cdot s\, dv\right)^{2/5}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(s^2\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1}{s}\right)^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(s^2\right)^{2/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{s^{4/5}}\cdot s^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$
[/mm]
[mm] $=(\Vert K\Vert_2^2)^{4/5}\cdot (\mu_2(K))^{2/5}$
[/mm]
$=C(K)$
ENDE
Müsste eigentlich korrekt sein, aber ich fühle mich gerade wie bei Günther Jauch auf dem Stuhl: Eigentlich ist man sich sicher, aber fragt doch nochmal den Joker. Ihr seid mein Joker. 
Grüße
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 25.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich glaube Statistik bzw. Nichtparametrik ist hier nicht so beliebt bzw. breit vertreten. Kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 26.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Di 29.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
Wirklich schade, dass hier niemand eine Antwort geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 29.05.2012 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
habe ich nachgerechnet, sieht richtig aus.
Mit freundlichen Grüßen
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 29.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das finde ich gut, dass es richtig aussieht.
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