Skalierung einer Punktwolke < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Di 23.12.2008 | | Autor: | Delerium |
Hallo :o)
Meine Aufgabe habe ich leider nicht in Schriftform und deshalb versuche ich sie so gut es geht zu erklären.
Gegeben seien zwei Punktwolken (3D-Raum) mit den Punkten
[mm] p_{i} [/mm] mit i = 1...N bzw. [mm] q_{i} [/mm] mit i = 1...N
Ich muss nun eine Matrix brechnen, die eine Translation und Skalierung beinhaltet (KEINE Rotation). Und zwar so, dass ich mit dieser Matrix jeden Punkt aus Punktwolke 1 multiplizieren kann und dadurch neue Punkte erhalte [mm] (p_{i}'). [/mm] Die Summe der Abstände zwischen den neuen Punkten [mm] p_{i}' [/mm] und den korrespondieren Punkte [mm] q_{i} [/mm] soll minimal sein.
Am Anfang hab ich einfach mal die Summe für die Fehlerquadrate aufgeschrieben:
f(S, t) = [mm] \summe_{i=1}^{N}(S [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] + t - [mm] q_{i})^{2}
[/mm]
S ist dabei der Skalierungsvektor, t der Translationsvektor.
Dieser Ausdruck muss minimal werden, also habe ich versucht partiell abzuleiten und gleich 0 zu setzen.
f(S, t) = [mm] \summe_{i=1}^{N}((S [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] - [mm] q_{i})^{2} [/mm] + 2 * <S * [mm] p_{i} [/mm] - [mm] q_{i}, [/mm] t> + [mm] t^{2})
[/mm]
(die spitzen Klammern sollen das Vektorprodukt darstellen)
0 = [mm] \bruch{\partial f(S, t)}{\partial t} [/mm] = 2 * [mm] \summe_{i=1}^{N}(S [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] - [mm] q_{i}) [/mm] + 2Nt
Viel weiter bin ich nicht gekommen :-(
Den Translationsvektor erhält man in dem man die Differenz der Schwerpunkte der beiden Punktwolken bildet.
Wie muss ich weitere rechnen?
Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Tausend Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Du schreibst einerseits, daß der Translationsvektor einfach die Differenz der Schwerpunkvektoren sei, was auch sehr plausibel ist. Aber dann mußt du doch gar nicht mehr t herausfinden, sondern eher den Skalierungsfaktor s!
Dazu müßtest du nach s ableiten:
$f(S, t) = [mm] \summe_{i=1}^{N}(S [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] + t - [mm] q_{i})^{2} [/mm] $
[mm] $\frac{\partial f(S, t)}{\partial S} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N}2p_i(S [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] + t - [mm] q_{i}) [/mm] =0$
Du kannst hier zunächst die Klammer auflösen, und dann das Summenzeichen vor jeden Summanden setzen. Da das S ein konstanter Faktor ist, kommt der anschließend vor sein Summenzeichen, und dann sollte es kein Problem mehr sein, das ganze nach S aufzulösen.
Aber nu erzähl mal, wofür du das brauchst? Das interessiert mich ja jetzt schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Delerium |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
ja, den Translationsvektor t kann ich berechnen.
Die Schritte, die du genannt hast, hab ich bereits ausprobiert.
Letztendlich komme ich dann auf den Ausdruck:
S = [mm] \bruch{t-\bruch{1}{N} * \summe_{i=1}^{N}q_{i}}{-\bruch{1}{N} * \summe_{i=1}^{N}p_{i}}
[/mm]
Wenn jetzt p* der Schwerpunkt von [mm] p_{i} [/mm] ist und q* der Schwerpunkt von [mm] q_{i}, [/mm] dann ist t = q* - p*.
Nun ist das Problem, dass auch [mm] \bruch{1}{N} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{N}q_{i} [/mm] der Schwerpunkt q* ist, so dass bei mir S = 1 ergibt. Ich drehe mich irgendwie im Kreis....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Delerium |
Hoppla, entschuldigung. Ich sollte doch besser mal die Augen aufmachen. Ich hab ja nach t abgeleitet. ok, ich versuch mal das, was du geschrieben hast.
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Hallo Delerium,
> Hoppla, entschuldigung. Ich sollte doch besser mal die
> Augen aufmachen. Ich hab ja nach t abgeleitet. ok, ich
> versuch mal das, was du geschrieben hast.
Ok
Gruß
MathePower
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Hallo Delerium,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> ja, den Translationsvektor t kann ich berechnen.
>
> Die Schritte, die du genannt hast, hab ich bereits
> ausprobiert.
>
> Letztendlich komme ich dann auf den Ausdruck:
>
> S = [mm]\bruch{t-\bruch{1}{N} * \summe_{i=1}^{N}q_{i}}{-\bruch{1}{N} * \summe_{i=1}^{N}p_{i}}[/mm]
Wenn ich die Gleichung, die in dem Post von Event_Horizon steht,
auflöse, dann komme ich auf ein anderes Ergebnis für S.
[mm] \frac{\partial f(S, t)}{\partial S} = \summe_{i=1}^{N}2p_i(S \cdot{} p_{i} + t - q_{i}) =0 [/mm]
>
> Wenn jetzt p* der Schwerpunkt von [mm]p_{i}[/mm] ist und q* der
> Schwerpunkt von [mm]q_{i},[/mm] dann ist t = q* - p*.
>
> Nun ist das Problem, dass auch [mm]\bruch{1}{N}[/mm] *
> [mm]\summe_{i=1}^{N}q_{i}[/mm] der Schwerpunkt q* ist, so dass bei
> mir S = 1 ergibt. Ich drehe mich irgendwie im Kreis....
Gruß
MathePower
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