Skizziere die komplexe Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 27.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Hi zusammen,
stehe etwas auf dem Schlauch:
Wie würde man die Menge der komplexen Zahlen z (außer 0) zeichnen, für die gilt, dass [mm] Re(\bruch{1}{z})\le [/mm] 5 ist?
Also die Zahlen [mm] \bruch{1}{z} [/mm] liefern quasi die gesamte linke Halbebene + der Teil der rechten Halbebene, dessen Realteil kleiner 5 ist.
Aber was passiert bei Kehwertbildung?
Gruß
Paivren
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> Wie würde man die Menge der komplexen Zahlen z (außer 0)
> zeichnen, für die gilt, dass [mm]Re(\bruch{1}{z})\le[/mm] 5 ist?
Hallo Paivren
Mein Tipp:
Setze z:= x + i y
und stelle den Kehrwert 1/z ebenfalls in der Form u + i v
(mit reellen u, v) dar.
Dann geht es nur noch darum, in der x-y-Ebene den Bereich
darzustellen, in welchem die Ungleichung $\ u(x,y)\ [mm] \le\ [/mm] 5$ gilt.
Für diesen Teil betrachtest du dann wohl am besten zunächst
einmal die Kurve, die sich aus der Gleichung $\ u(x,y)\ =\ 5$ ergibt.
Stichwort: Kreisgleichung .....
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Di 27.11.2018 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al:
wenn ich die Bezeichnungen von Al übernehme, komme ich auf u(x,y) [mm] \le [/mm] 5.
Diese Ungleichung liefert [mm] x^2+y^2 \ge [/mm] blablablubber....
Wie lautet blablablubber ?
Jetzt ist quadratische Ergänzung angesagt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 27.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
danke für die wertvollen Tipps!
z=x+iy -> [mm] \bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} [/mm] - [mm] i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Also
[mm] \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le [/mm] 5
[mm] \gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0
[/mm]
[mm] \gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100}
[/mm]
Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 27.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
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> danke für die wertvollen Tipps!
>
> z=x+iy -> [mm]\bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}[/mm] -
> [mm]i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> Also
> [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 5
> [mm]\gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0[/mm]
> [mm]\gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100}[/mm]
>
> Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener
> Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das
> heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des
> Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?
Fast. Obige Ungleichung beschreibt das Aussere des Kreises mit Radius 1/10.
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> Fast. Obige Ungleichung beschreibt das Aussere des Kreises mit Radius 1/10.
Fast. Denn fast die gesamte Kreislinie selbst gehört ebenfalls
noch zur Lösungsmenge. Zur Lösungsmenge der letzten
angegebenen Ungleichung
$\ [mm] \left(x-\bruch{1}{10}\right)^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100} [/mm] $
würde sogar die gesamte Kreislinie (inklusive Punkt z=0) gehören.
Gruß , Al
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> Hallo Leute,
>
> danke für die wertvollen Tipps!
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> z=x+iy -> [mm]\bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}\ -\ i\ \bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> Also
> [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 5
> [mm]\gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0[/mm]
> [mm]\gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100}[/mm]
>
> Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener
> Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das
> heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des
> Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?
Der Randkreis des Lösungsgebietes hat nicht den Radius [mm] $\frac{1}{100}$ [/mm] ,
sondern [mm] $\frac{1}{10}$ [/mm] . Dieser Kreis verläuft also durch den
Koordinatennullpunkt des komplexen Koordinatensystems.
Dieser Punkt (z=0) gehört selber nicht zum Lösungsgebiet, da
1/0 auch in [mm] $\IC$ [/mm] nicht definiert ist. Der gesamte Rest des
Kreises zusammen mit dessen Äußerem bildet das Lösungsgebiet.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 27.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Vielen Dank Leute,
klar, 1/100 war [mm] r^{2} [/mm] und nicht r.
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