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Hallo :0)
Könnt ihr mir sagen ob ich bisher richtig vorgegangen bin?
Ich habe eine lineare Abbildung f: [mm] R^{4}--> R^{4} [/mm] mit f(x) = A*x
Zuerst sollte ich prüfen ob meine Abbildung ortogonal ist, das war kein Problem :0)
Nun soll ich einen Unterraum U der Fixelemente von f bestimmen.
Hatte mir das folgendermaßen gedacht:
Fixelemente erhalte ich als Lösung der Gleichung:
(A-E)*x = 0
Demnach muss ich ja meine gegebene Abbildung einsetzen, die einheitsmatrix subtrahieren und mit x multiplizieren.
Ich habe in lineares Gleichungssystem aufgestellt und mit Gauß Jordan gelöst.
Nun erhalte ich für [mm] x_{1}- x_{4} [/mm] die Werte 0.
Aber wie komme ich nun auf meinen Unterraum?
Danke :0)
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Hallo!
Meine Matrix lautet: [mm] \bruch{1}{2}*
[/mm]
1. Zeile: 1 -1 1 1
2. Zeile: 1 -1 -1 -1
3. Zeile: 1 1 -1 1
4. Zeile: 1 1 1 -1
Ich kann leider irgendwie keine 4*4 Matrizen schreiben....
Wäre lieb wenn ihr mal nachrechnen würdet... :0)
Lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Do 01.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hmmm, ich krieg da aber noch andere Lösungen raus.....
Nur mal so als Zwischenergebnis hätte ich anzubieten
[mm]A-E = \bruch{1}{2}\pmat{1&-1&1&1\\1&-1&-1&-1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1} - \pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1} =
\bruch{1}{2}\pmat{-1&-1&1&1\\1&-3&-1&-1\\1&1&-3&1\\1&1&1&-3}[/mm]
...wen Du das auch hast, dann poste doch mal den Rechenweg bei der Gauß-Elimination. Ansonsten rechne vorsichtshalber mein Ergebnis nochmal nach  und wenns stimmt mach damit mal einen zweiten Versuch.
Gruß
piet
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Hi!
Hm....versuche es dann gleich nochmal. Aber wie kommst du denn auf die ganzen 3en????????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Do 01.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hi!
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> Hm....versuche es dann gleich nochmal. Aber wie kommst du
> denn auf die ganzen 3en????????
[mm](\bruch{1}{2}\cdot(-1))-1 = -\bruch{1}{2}-1 = -\bruch{3}{2} = \bruch{1}{2}\cdot(-3)[/mm]
...meine ich zumindest
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Stimmt. ich habe es nun auch raus :0)
Und nun habe ich den Gauß Jordan angewandt. ( Frage: Muss ich, bevor ich ihn anwende die 1/2 in die Matrix multiplizieren? Das habe ich nämlich nicht gemacht. )
Hier meine Schritte ab da:
(-1)Z1 ergibt dann
1 1 -1 -1
1 -3 -1 -1
1 1 -3 1 nun Z2-Z1 / Z3-Z1 / Z4-Z1 ergibt:
1 1 1 -3
1 1 -1 -1
0 -4 0 0
0 0 -2 0 ( [mm] -\bruch{1}{4}) [/mm] Z2
0 0 2 -2
1 1 -1 -1
0 1 0 0
0 0 -2 0 Z1-Z2
1 0 -1 -1
0 1 0 0
0 0 -2 0 ( [mm] -\bruch{1}{2}) [/mm] Z3
0 0 2 -2
1 0 -1 -1
0 1 0 0
0 0 1 0 Z1+Z3
0 0 2 -2
1 0 0 -1
0 1 0 0 Z4-2Z3
0 0 1 0
0 0 2 -2
1 0 0 -1
0 1 0 0
0 0 1 0 Z1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Z4
0 0 0 -2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 Z4*( - [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
0 0 0 -2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
So habe ich es gerechnet, komme aber immernoch auf mein Ergebnis von vorhin.....
0 0 2 -2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 01.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Stimmt. ich habe es nun auch raus :0)
>
> Und nun habe ich den Gauß Jordan angewandt. ( Frage: Muss
> ich, bevor ich ihn anwende die 1/2 in die Matrix
> multiplizieren? Das habe ich nämlich nicht gemacht. )
Nachdem auf der rechten Seite der Gleichung ja null steht ist die 1/2 un diesem Fall egal - ich hab sie auch weggelassen.
>
> Hier meine Schritte ab da:
>
> (-1)Z1 ergibt dann
>
> 1 1 -1 -1
> 1 -3 -1 -1
> 1 1 -3 1 nun Z2-Z1 / Z3-Z1 / Z4-Z1
> 1 1 1 -3
>
>
>
> 1 1 -1 -1
> 0 -4 0 0
> 0 0 -2 0 ( [mm]-\bruch{1}{4})[/mm] Z2
> 0 0 2 -2
>
hier(Zeile 3, Spalte 4) steckt denke ich ein Rechenfehler: 1-(-1) = 2.
Damit habe ich
[mm]\pmat{1&1&-1&-1\\0&-4&0&0\\0&0&-2&2\\0&0&2&-2}[/mm]
...und damit hat das Gleichungssystem offenbaar mehr als eine Lösung.
Gruß
piet
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UI......tatsächlich *schäm* Danke :0)
Nun rechne ich aber trotz allem den Gauß so weit wie möglich weiter, oder???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Do 01.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> UI......tatsächlich *schäm* Danke :0)
>
> Nun rechne ich aber trotz allem den Gauß so weit wie
> möglich weiter, oder???
>
ja, aber so arg viel ist da ja nicht mehr zu tun, die letzte Zeile hat man ja mit einer Umformung noch weg, und dann kann man die Lösung ja eigentlich schon ablesen (wenn Du willst kannst Du natürlich noch die restlichen Diagonalelemente auf 1 bringen).
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Gut wenn ich dann nochmal umgeformt habe bekomme ich
1 1 -1 -1
0 1 0 0
0 0 -2 2
0 0 0 0
Du sagst nun kann ich die Lösung ablesen, und genau da leigt mein Problem.
Wieso kann ich die Lösung nun ablesen bzw. wie mache ich das?
Und: Wie bekomme ich meinen gesuchten Unterraum raus?
Danke :0)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 01.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Stellen wir uns doch mal das ganze wieder als Gleichungssystem vor:
1 [mm] x_1 [/mm] +1 [mm] x_2 [/mm] -1 [mm] x_3 [/mm] -1 [mm] x_4 [/mm] = 0
0 [mm] x_1 [/mm] +1 [mm] x_2 [/mm] +0 [mm] x_3 [/mm] +0 [mm] x_4 [/mm] = 0
0 [mm] x_1 [/mm] +0 [mm] x_2 [/mm] -2 [mm] x_3 [/mm] +2 [mm] x_4 [/mm] = 0
0 [mm] x_1 [/mm] +0 [mm] x_2 [/mm] +0 [mm] x_3 [/mm] + 0 [mm] x_4 [/mm] = 0
Jetzt gehen wir die Gleichungen von unten nach oben durch und bestimmen jeweils die Unbekannte, deren Nummer zu der entsprechenden Zeile gehört.
4. Zeile: [mm] x_4 [/mm] ist zu bestimmen, ist aber egal, da 0*irgendwas immer 0 gibt. Setze also [mm] x_4 [/mm] auf einen bliebigen Wert a.
3. Zeile: nach [mm] x_3 [/mm] auflösen: [mm] x_3 [/mm] = [mm] x_4, [/mm] also auch [mm] x_3 [/mm] = a (das gleiche a wie eben!)
2. Zeile: da steht nur [mm] x_2 [/mm] = 0, das ist dann eben so
1. Zeile: nach [mm] x_1 [/mm] auflösen: [mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4, [/mm] also [mm] x_1 [/mm] = 2a
Damit ist die allgemeine Lösung
[mm]\vektor{2a\\0\\a\\a} = a\cdot\vektor{2\\0\\1\\1}[/mm]
mit einem beliebigen [mm] a\in\IR, [/mm] und das ist der gesuchte Unterraum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Do 01.06.2006 | | Autor: | rotespinne |
Hallo!
Super, lieben Dank, nun habe ich es verstanden :0)
Danke Danke Danke!!!
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Eine Frage hätte ich nun noch: wenn ich den Rang des Unterraumes bestimmen soll, wie mache ich das denn?
Bestimme ich dann einfach den rang der letzten Matrix beim gaußJordan Verfahren?
Das wäre dann bei uns 2 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Fr 02.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Also, der "Rang eines Unterraums" sagt mir erst mal gar nichts - Rang kenne ich für Matrizen und lineare Abbildungen.
Wenn es um die Dimension des Teilraums geht: das wäre grob gesagt die Anzahl der frei wählbaren Koordinaten, in unserem Fall also 1 (für den Fixraum).
...und wie kommst Du bei der Matrix auf Rang 2? Bei unserer A-E-Matrix sind am Ende noch 3 Zeilen [mm] \not= [/mm] 0 , also wäre der Rang 3. Oder meinst Du eine andere Matrix?
Gruß
piet
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