Spalten Vertauschen bei Gauß < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, wir reden im unterricht gerade noch mal über das Lösen von Gleichungssystemen mit 4 -5 Variablen mittels Gauß'schen Algorithmus.
Nun meine Frage: Das man verschieden Zeilen untereinander Tauschen kann, ist klar. Kann man aber auch Spalten mit einander Vertauschen. Unter welchen Umständen ist dies möglich.
MFG
Chaos Lord
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Hallo Chaos-Lord!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Nun meine Frage: Das man verschieden Zeilen untereinander
> Tauschen kann, ist klar. Kann man aber auch Spalten mit
> einander Vertauschen. Unter welchen Umständen ist dies
> möglich.
Im Moment fallen mir keine Umstände ein, wo dies nicht möglich wäre. Du mußt bei solchen Vertauschungen lediglich sicherstellen, daß Du nach der Anwendung des Gauß-Algorithmus deinen Unbekannten die richtigen Werte zuordnest, betrachte dazu folgendes Beispiel:
[m]\begin{array}{*{20}c}
{\begin{array}{*{20}c}
{ax_1 + bx_2 + cx_3 = j} \\
{dx_1 + ex_2 + fx_3 = k} \\
{gx_1 + hx_2 + ix_3 = l} \\
\end{array} } & \Leftrightarrow & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
j \\
k \\
l \\
\end{array} } \right)} \\
\end{array}[/m]
Die Buchstaben [mm] $a,\ldots,l$ [/mm] sind Zahlen, während [mm] $x_1,\ldots,x_3$ [/mm] unsere Unbekannten sind. Vertauschst Du nun eine Zeile, so sieht das folgendermaßen aus:
[m]\begin{array}{*{20}c}
{\begin{array}{*{20}c}
{dx_1 + ex_2 + fx_3 = k} \\
{ax_1 + bx_2 + cx_3 = j} \\
{gx_1 + hx_2 + ix_3 = l} \\
\end{array} } & \Leftrightarrow & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
d & e & f \\
a & b & c \\
g & h & i \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
k \\
j \\
l \\
\end{array} } \right)} \\
\end{array}[/m]
Wir können hier beobachten, daß sich unser Spaltenvektor nicht verändert hat, während wir bei unserer Koeffizientenmatrix und dem Ergebnisvektor die Zeilen vertauschen mußten. Und was passiert, wenn wir eine Spalte vertauschen? Sehen wir uns das mal an:
[m]\begin{array}{*{20}c}
{\begin{array}{*{20}c}
{bx_2 + ax_1 + cx_3 = j} \\
{ex_2 + dx_1 + fx_3 = k} \\
{hx_2 + gx_1 + ix_3 = l} \\
\end{array} } & \Leftrightarrow & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
b & a & c \\
e & d & f \\
h & g & i \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_2 } \\
{x_1 } \\
{x_3 } \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
j \\
k \\
l \\
\end{array} } \right)} \\
\end{array}[/m]
Du siehst beim Vertauschen einer Spalte in der Koeffizientenmatrix muß man auch die sich an der entsprechenden Position befindliche Zeile beim Spaltenvektor an die neue Position verschieben. (Wohin und was man verschieben muß, sieht man ja an der Durchnummerierung der Einträge des Vektors.)
Wenn Du also beim Gauß-Algorithmus Spaltenvertauschungen vornimmst, solltest Du dir auch merken, wohin deine Variablen "wandern".
Viele Grüße
Karl
[P.S. Es gibt da noch eine Möglichkeit das über Permutationsmatrizen zu regeln, aber an die erinnere ich mich im Moment nicht so richtig...]
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