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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Es seien [mm] t_i \in \IR [/mm] (i =1 [mm] \dots [/mm] ,m ) paarweise verschieden m > n und
A:= [mm] \pmat{ 1 & t_1 & t^2_1 &\cdots& t_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots &&\vdots\\ 1 & t_m & t^2 _m &\cdots & t_m^{n-1} }
[/mm]
Zeigen Sie: die Spalten von A sind linear unabhängig |
Hallo
ich wollte jetzt eigentlich Zeilen bzw. Spalten umformungen die Matrix so umformen, dass sie in Zeilenstufenformsteht, dann kann man ja den Rang ablesen und wenn rang(A)=n ist, dann heißt das doch, dass (weil zeilenrang =spaltenrang) das es n linear unabhängige Spalten gibt, also Behauptung. Aber eines der [mm] t_i [/mm] könnte doch Null sein, deswegen dürfte ich mit dem ja nicht multiplizieren, deswegen wollte ich mal fragen, ob es vielleicht einen anderen Ansatz für diese (wohl einfache) Aufgabe gibt.
miau
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Mir fällt sponten kein einfacherer eleganter Lösungsweg ein, als mit Zeilen- (und ggf. Spalten-)umformungen zu argumentieren.
Der Fall, dass ein [mm] t_i=0 [/mm] ist, ist jedoch dabei kein Problem. Du kannst dann die entsprechende Zeile einfach an den Anfang schieben und mit der Untermatrix aus den übrigen Zeilen weiter argumentieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Hey
okay das mit der Null ist logisch aber ich hab gerade versucht Zeilenumformungen zu machen (man darf Spalten und zeilenumformungen ja nicht mischen)
habe jetzt auch in der ersten spalten die nullen hinbekommen (war ja auch nicht so schwer) aber jetzt weiß ich echt nicht, ob der weg nicht ein bisschen zu kompliziert wird.... bin jetz also bei der matrix
[mm] \overline{A}=\pmat{ 1 & t_i & \cdots &t_1^{n-1} \\ 0 & t_2 -t_1 & \cdots & t_2^{n-1}-t_1^{n-1}\\ \hdots & & \hdots \\ 0 & t_m-t_1& \cdots & t_m^{n-1}-t^{n-1} _1}
[/mm]
kann mir vielleicht jemand helfen und sagen, wie ich da jetzt am besten weiter mache?
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> Hey
> okay das mit der Null ist logisch aber ich hab gerade
> versucht Zeilenumformungen zu machen (man darf Spalten und
> zeilenumformungen ja nicht mischen)
> habe jetzt auch in der ersten spalten die nullen
> hinbekommen (war ja auch nicht so schwer) aber jetzt weiß
> ich echt nicht, ob der weg nicht ein bisschen zu
> kompliziert wird.... bin jetz also bei der matrix
> [mm]\overline{A}=\pmat{ 1 & t_i & \cdots &t_1^{n-1} \\ 0 & t_2 -t_1 & \cdots & t_2^{n-1}-t_1^{n-1}\\ \hdots & & \hdots \\ 0 & t_m-t_1& \cdots & t_m^{n-1}-t^{n-1} _1}[/mm]
>
> kann mir vielleicht jemand helfen und sagen, wie ich da
> jetzt am besten weiter mache?
Doch, wenn es nur um die Bestimmung des Rangs geht, dürfen Zeilen- und Spaltenoperationen auch gemischt werden (da der Rang unter allen Operationen invariant ist). Deshalb würde ich jetzt so weiter machen (vielleicht gibt es auch ne viel einfachere Lösung, aber die sehe ich im Moment nicht):
So wie ich mir das eben gedacht habe geht das ja gar nicht, die angegebene Spaltenoperation ist unzulässig, da es keine konstante Spante gibt.
Aber vielleicht kann man das irgendwie retten...
(addiere [mm] t_1^{j -1} [/mm] zur j-ten Spalte, [mm] j\ge [/mm] 2). Dann diviere die i-te Spalte durch [mm] t_i [/mm] für [mm] i\ge [/mm] 2. Du erhältst
[mm] \pmat{ 1 & \ast & \ast& \cdots & \ast \\ 0 & 1&t_2 & \cdots & t_2^{n-2}\\ \hdots & & \hdots \\ 0 &1&t_m& \cdots & t_m^{n-2}}
[/mm]
Dabei steht [mm] \ast [/mm] für einen beliebigen Eintrag, der für den Rang keine Rolle spielt.
Die Untermatrix ohne die erste Zeile und Spalte hat nun die gleiche Struktur wie die ursprüngliche Matrix, nur mit [mm] (m-1)\times(n-1)
[/mm]
Das wäre der Induktionsschritt für einen Induktionsbeweis, dass der Rang immer gleich dem Minimum aus Zeilen- und Spaltenzahl, in deinem Fall also n ist.
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> Es seien [mm]t_i \in \IR[/mm] (i =1 [mm]\dots[/mm] ,m ) paarweise verschieden
> m > n und
> A:= [mm]\pmat{ 1 & t_1 & t^2_1 &\cdots& t_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots &&\vdots\\ 1 & t_m & t^2 _m &\cdots & t_m^{n-1} }[/mm]
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> Zeigen Sie: die Spalten von A sind linear unabhängig
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> Hallo
> ich wollte jetzt eigentlich Zeilen bzw. Spalten
> umformungen die Matrix so umformen, dass sie in
> Zeilenstufenformsteht, dann kann man ja den Rang ablesen
> und wenn rang(A)=n ist, dann heißt das doch, dass (weil
> zeilenrang =spaltenrang) das es n linear unabhängige
> Spalten gibt, also Behauptung. Aber eines der [mm]t_i[/mm] könnte
> doch Null sein, deswegen dürfte ich mit dem ja nicht
> multiplizieren, deswegen wollte ich mal fragen, ob es
> vielleicht einen anderen Ansatz für diese (wohl einfache)
> Aufgabe gibt.
>
> miau
Dabei ist es so einfach:
Eine Linearkombination der Spalten entspricht einen Polynom vom Grad n-1, das nicht für alle [mm] t_1,...,t_m [/mm] Null werden kann.
In Formeln:
[mm] a_0\vektor{1\\ \hdots\\1}+a_1\vektor{t_1\\ \hdots\\t_m}+a_{n-1}\vektor{t_1^{n-1}\\ \hdots\\t_m^{n-1}}=\vektor{0\\ \hdots\\0}
[/mm]
bedeutet
[mm] a_0+a_1t_i+...+a_{n-1}t_i^{n-1}=0 [/mm] für i=1,...,m
Da ein Polynom vom Grad n-1 höchstens n-1 Nullstellen haben kann und [mm] m\ge [/mm] n gilt, müssen alle [mm] a_j [/mm] Null sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 06.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
danke schön^^
problem ist nur, dass ich nicht so wirklich verstehe wie du jetzt darauf schließt, dass für [mm] a_j=0 [/mm] gilt
das mit dem Polynom, und das eines mit n-1 Grades höchstens n-1 Nullstellen hat versteh ich auch
wir haben jetzt also m Gleichungen von Polynomen die den Grad von (n-1) haben, aber den entscheidenen schritt versteh ich leider noch nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast m polynome=0 die polynome haben den grad n-1 mit den Koeffizienten [mm] a_i [/mm] und den "Variablen" t du willst zeigen dass es nur die Lösung alle [mm] a_i=0 [/mm] gibt
jetzt gehört das Wissen dazu, dass ein Polynom n ten Grades höchstens n Nullstellen hat. d.h. egal wie du die [mm] a_i [/mm] wählst ist = 0 nur für n verschiedene t zu erreichen du hast aber m>n verschiedene t, also bleibt nur üübrig, dass die [mm] a_i [/mm] 0 sind
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 So 06.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
okay
ich denke ich habe alles verstanden
vielen Dank ^^
miau :3 und gute Nacht
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