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Forum "Funktionalanalysis" - Spektralnorm abschätzen
Spektralnorm abschätzen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Spektralnorm abschätzen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:26 Do 29.11.2007
Autor: rose_07

Hallo,

ich habe folgende Abschätzung gegeben:

Sei [mm] A^{} [/mm] eine m [mm] \times [/mm] n Matrix und [mm] A^{\ast} [/mm] deren transponiert Konjugierte, a und b Konstanten mit a < b , dann sei gegeben:

a [mm] \le \lambda_{min} (A^{\ast}A) \le \lambda_{max} (A^{\ast}A) \le [/mm] b  [mm] (\lambda [/mm] bezeichnet den größten bzw. kleinsten Eigenwert)

Wieso folgt daraus, dass [mm] \|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} \le \frac{1}{a} [/mm] ist?

Die Spektralnorm [mm] \|A^{}\|_{2} [/mm] ist ja gerade [mm] \sqrt{\lambda_{max}(A^{\ast}A)}, [/mm] die Spektralnorm [mm] \|A^{-1}\|_{2} [/mm] ist [mm] \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}(A^{\ast}A)}}. [/mm]


Danke schon mal im Voraus!

rose_07







Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Spektralnorm abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Fr 30.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo,
>
> ich habe folgende Abschätzung gegeben:
>  
> Sei [mm]A^{}[/mm] eine m [mm]\times[/mm] n Matrix und [mm]A^{\ast}[/mm] deren
> transponiert Konjugierte, a und b Konstanten mit a < b ,
> dann sei gegeben:
>  
> a [mm]\le \lambda_{min} (A^{\ast}A) \le \lambda_{max} (A^{\ast}A) \le b [/mm]([mm]\lambda[/mm] bezeichnet den größten bzw. kleinsten Eigenwert)
>  
> Wieso folgt daraus, dass [mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} \le \frac{1}{a}[/mm]
> ist?
>  
> Die Spektralnorm [mm]\|A^{}\|_{2}[/mm] ist ja gerade [mm]\sqrt{\lambda_{max}(A^{\ast}A)},[/mm] die Spektralnorm
> [mm]\|A^{-1}\|_{2}[/mm] ist [mm]\frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}(A^{\ast}A)}}.[/mm]

Rechne doch die Spektralnorm von [mm](A^{\ast}A)^{-1}[/mm] nach der Definition aus:

[mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} = \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}((A^{\ast}A)^{\ast}(A^{\ast}A))}} [/mm].

Nun ist [mm](A^{\ast}A)^{\ast} = A^{\ast}A[/mm], daher

[mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2}= \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}((A^{\ast}A)^2)}} [/mm].

Wie hängt [mm]\lambda_{min}((A^{\ast}A)^2)[/mm] mit [mm]\lambda_{min}(A^{\ast}A)[/mm] zusammen? Setze diesen Zusammenhang ein.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Spektralnorm abschätzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 So 02.12.2007
Autor: rose_07

Hi Rainer,

stand wohl auf dem Schlauch, bin aber selbst natürlich draufgekommen, habe übersehen, dass die matrix ja hermitesch ist.
Aber wieso ist die matrix überhaupt invertierbar?

Danke noch mal.

Gruß

Bezug
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