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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Di 26.02.2008 | | Autor: | Flamy |
| Aufgabe | Es ist 144 ein einfacher und 36 ein doppelter Eigenwert von A. Berechnen Sie die Spektralzerlegung von A.
[mm] A=\pmat{ 54 & -18 & 36 \\ -18 & 54 & -36 \\ 36 & -36 & 108 } [/mm] |
Hallo!
ich habe eine bzw. mehrere Fragen zur Spektralzerlegung. Und zwar weiß ich nicht genau wie ich die Rechnung angehehen soll. Ich habe die Musterlösung vor mir liegen doch irgendwie werd ich da nicht schlau draus. Es wäre super wenn mir irgendwer neben einem Tipp zu meinem Berechnungsproblem auch noch einige kleine Anmerkungen zu den Rechenschritten schreiben könnte. Also was da genau gemacht wird.
Ich habe eine neue Matrix mit ker(A-144*E) berechnet, die wie folgt lautet.
[mm] \pmat{ -90 & -18 & 36 \\ -18 & -90 & -36 \\ 36 & -36 & 108 }
[/mm]
Davon wurde dann die Treppennormalform berechnet was mich zu folgendem Ergebnis führt.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt steht in meiner Lösung, [mm] v=\pmat{ -1 \\ 1 \\ -2 }, ker(A-144*E)=\IR{v}
[/mm]
Und wie wir da auf das v gekommen sind, kann ich mir nicht mehr erklären. Ich hoffe das kann mir irgendwer erläutern.:)
Liebe Grüße
Jan
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> Es ist 144 ein einfacher und 36 ein doppelter Eigenwert von
> A. Berechnen Sie die Spektralzerlegung von A.
>
> [mm]A=\pmat{ 54 & -18 & 36 \\ -18 & 54 & -36 \\ 36 & -36 & 108 }[/mm]
Hallo,
in der Rechnung, welche Du schilderst, wird nun der Eigenraum zum Eigenwert 144 berechnet.
Der Eigenraum zum Eigenwert 144 ist der Lösungsraum von
Av=144v .
Er enthält also alle Eigenvektoren zum Eigenwert 144 (und die Null).
Av=144v
<==> Av-144v=0
<==> (A-144E)v=0,
und damit sind wir bei
> Ich habe eine neue Matrix mit ker(A-144*E) berechnet,
angelangt.
Es ist also die Lösung des homogenen LGSs (A-144E)v=0 zu bestimmen,
was ja nichts anderes ist als die Berechnung des Kerns von (A-144E)=
>
> [mm]\pmat{ -90 & -18 & 36 \\ -18 & -90 & -36 \\ 36 & -36 & 108 }[/mm]
Diese Aufgabe löst man bequem mit dem Gaußalgorithmus, daher wird die
>
> Treppennormalform berechnet was mich
> zu folgendem Ergebnis führt.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Diese Matrix steht für das folgende GS
1*x+0*y-1/2*z=0
0*x+1*y+1/2*z=0
Wir haben ein lineares GS mit 3 Variablen und 2 Gleichungen.
Wir können eine Variable frei wählen, etwa z:=t mit [mm] t\in \IR [/mm] beliebig, und wenn wir y und x passend dazu wählen, erhälten wir die Lösung des Systems.
Also
z=t
y=-1/2*z=-1/2*t
x=1/2*z=1/2*t.
Also haben sämtliche Lösungen [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{1/2*t \\ -1/2*t\\t}=t/2 *\vektor{1 \\ -1\\2} [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] beliebig
Da t beliebig ist, durchläuft t/2 die reellen Zahlen,
man kann also schreiben
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=t' *\vektor{1 \\ -1\\2} [/mm] mit t' [mm] \in \IR [/mm] beliebig, und genau das sagt
>[mm]v=\pmat{ -1 \\ 1 \\ -2 }, ker(A-144*E)=\IR{v}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Di 26.02.2008 | | Autor: | Flamy |
Allerbesten Dank! Das bringt mich endlich weiter!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:33 Di 26.02.2008 | | Autor: | Flamy |
Jetzt ist mir doch noch was eingefallen. Woher weiss ich, aus welchem der Eigenwerte ich den Eigenraum bilde? Wird das nach der Vielfachheit entscheiden?
LG
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> Jetzt ist mir doch noch was eingefallen. Woher weiss ich,
> aus welchem der Eigenwerte ich den Eigenraum bilde? Wird
> das nach der Vielfachheit entscheiden?
Hallo,
wenn ich jetzt das tun würde, was ich mir gerade unter "Spektralzerlegung" vorstelle (Gedächtnislücken sind nicht auszuschließen...), würde ich nun den Eigenraum des anderen Eigenwertes berechnen.
Möglicherweise ist es sinnvoll, wenn Du mal schilderst, was das Ziel Deiner Spektralzerlegung ist, oder wie es in Deiner Aufgabe, zu der Dir eine Lösung vorliegt, weitergeht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 26.02.2008 | | Autor: | Flamy |
Also ich habe jetzt meiner Lösung folgend weiter gerechnet und zwar habe ich jetzt eine Matrix P wie folgt ausgerechnet.
[mm] P=\bruch{v*v^{T}}{||v||^{2}}
[/mm]
Da hab ich dann auch erstmal eine Frage zu: Was Berechne ich da?
Aber gut erstmal weiter.
Nachdem ich die Matrix P berechnet habe, rechne ich Q = E - P. Auch hier wieder die Frage was habe ich damit berechnet.
Nun Beweise ich noch, das A=144P+36Q
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Hallo,
Spektralzerlegung einer Matrix B bedeutet ja, daß Du zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_i [/mm] Projektionsmatrizen [mm] P_i [/mm] hast
mit [mm] P_iP_j=\begin{cases} P_i, & \mbox{für }i=j \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \mbox{ } \end{cases}, [/mm] für welche
[mm] E=\summe P_i
[/mm]
und [mm] B=\summe \lambda_iP_i.
[/mm]
Die [mm] P_i [/mm] beschreiben dabei jeweils die Projektion auf den Eigenraum von [mm] \lambda_i.
[/mm]
(Solch eine Spektralzerlegung gibt es aber nicht für alle nxn-Matrizen, sondern nur für diagonalisierbare. In Deinem Beispiel ist die Diagonalisierbarkeit gesichert, denn die Matrix A ist symmetrisch.)
Zum Finden dieser Projektionsmatrizen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
In Deiner Aufgabe wird das so gemacht:
Man nehme eine Orthonormalbasis des Raumes U, auf den projeziert werden soll, die Basisvektoren in eine Matrix gestellt ergebe die Matrix A.
Es ist dann [mm] M:=AA^{t} [/mm] die Matrix, die die Projektion auf U beschreibt.
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Zu Deiner Aufgabe:
Wir suchen nun die Matrix P, welche die Projektion auf den Eigenraum des Eigenwertes 144 beschreibt, also die Projektion auf den von v aufgespannten Raum.
Ein ONB von [mm] Eig_{144} [/mm] ist [mm] (\bruch{v}{|v|}).
[/mm]
Also ergibt
[mm] P:=\bruch{v}{|v|}\bruch{v^t}{|v|}=\bruch{vv^t}{|v|^2} [/mm] die gesuchte Projektionsmatrix.
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Als nächstes wird noch die Projektionsmatrix Q für den Eigenraum von 36 benötigt.
Man könnte sie finden, indem man eine ONB es Eigenraumes berechnet und wie oben beschrieben die passende Projektionsmatrix Q berechnet.
In Deinem Beispiel hat man sich die Sache vereinfacht. Es gibt ja nur zwei Eigenwerte, und da
E= P + Q gelten muß bei der Spektralzerlegung (von der man weiß, daß sie existiert), weiß man, daß
> Q = E - P.
Und nun braucht man nur noch zu schreiben
A=144P+36Q.
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Um noch Deine zuvor gestellte Frage zu beantworten:
man hätte hier ebensogut mit den Eigenwert 36 beginnen können, das wäre im Prinzip egal.
Das Schöne ist, daß der Eigenraum zu 144 nur die Dimension 1 hat, so daß das Berechnen der Projektionsmatrix nicht sehr große Anforderungen an die Rechenfähigkeiten stellt.
Gruß v. Angela
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