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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Spezielle Lösung ermitteln
Spezielle Lösung ermitteln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Spezielle Lösung ermitteln: Rückfrage, Idee, Tipp, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Di 02.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

beim Lösen von Differentialgleichungen der 2. Ordnung ist nach der speziellen Lösung des inhomogenen DGL gefragt (Ansatz vom Typ der rechten Seite)

Beispiel: b(x) = x ; ys(x) = A+Bx oder b(x) = 9x ; ys(x) = Ax+B

Ich verstehe nun oftmals nicht woher ich weiß, welche "Form" ys(x) dann annimmt. Es gibt zwar viele Tabellen, aber auch mit diesen komme ich nicht wirklich weiter.

Könntet ihr mir das einmal erklären, damit ich die Systematik dahinter besser verstehe?

Vielen Dank

        
Bezug
Spezielle Lösung ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Di 02.01.2018
Autor: HJKweseleit

Um dir das zu erklären, müsstest du eigentlich mal irgendeine DGL hinschreiben.

Nehmen wir mal folgendes Beispiel:

y" + y' = 6x+4

Für y" + y' = 0 suchst du alle Lösungen des hom. Systems.

Nun brauchst du noch eine spezielle.

Da die Ableitungen ein Polynom ergeben, ist hier eine Polynomfkt. zu vermuten. Bei der 1. Ableitung wird der Grad um 1 kleiner, bei der 2. um 2. Da der Grad 1 ist, müsste die Ausgangsfkt. den Grad 2 haben. Also machst du nun den Versuch mit [mm] y=ax^2+bx+c: [/mm]

y" = 2ax+b
y' = 2a
Somit 2ax+b+2a=6x+4, also a=3 und b=-2

[mm] y=3x^2-2x+c, [/mm] und da du nur irgendeine spezielle Fkt. suchst, kannst du c auch noch auf 0 setzen, falls es nicht noch Randbedingungen gibt.

Heißt die DGL bespielsweise
y" + y' = [mm] 2e^{3x}, [/mm] so bietet sich als Ansatz für die spezielle Lösung [mm] y=ae^{3x} [/mm] an.

Damit wäre
y" [mm] =9ae^{3x}, y'=3ae^{3x} [/mm] und damit [mm] y"+y'=12ae^{3x}=2e^{3x}, [/mm] also a=1/6.

Allgemein lässt sich deine Frage also nicht beantworten.


Bezug
                
Bezug
Spezielle Lösung ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Mi 03.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Wenn ich nun z.B. b(x) = [mm] 8x^2 [/mm] habe bedeutet das doch dann, dass

ys(x) = [mm] Ax^2+Bx+C [/mm]
ys´(x) = 2Ax+B
ys´´(x) = 2A

ist.

Habe ich das so richtig verstanden?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Spezielle Lösung ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mi 03.01.2018
Autor: notinX

Hallo,

> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Wenn ich nun z.B. b(x) = [mm]8x^2[/mm] habe bedeutet das doch dann,
> dass
>  
> ys(x) = [mm]Ax^2+Bx+C[/mm]
>  ys´(x) = 2Ax+B
>  ys´´(x) = 2A

die Ableitungen stimmen.

>  
> ist.
>  
> Habe ich das so richtig verstanden?
>  
> Danke

Ich versuche mal, eine Frage in Deine Angaben hineinzuinterpretieren:
Vermutlich willst Du wissen, ob bei einer gewöhnlichen linearen inhomogenen DGL mit konstanten Koeffizienten, deren rechte Seite [mm] 8x^2 [/mm] ist, ys(x) ein geeigneter Ansatz für eine spezielle Lösung ist.

Das kann man allgemein so nicht sagen, vor allem nicht wenn Du die DGL nicht hinschreibst.
Wie HJKweseleit schon geschrieben hat kann es sinnvoll sein, den Grad des Polynoms zu erhöhen, je nach Form und Ordnung der DGL. Darüber kann man aber ohne Kenntnis der DGL keine Aussage machen.

Gruß,

notinX

Bezug
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