Spezielle Lösung finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 07.12.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL [mm] y''+y=\bruch{1}{sin(x)}
[/mm]
Tipp: Verwenden Sie für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung Variation der Konstanten. |
Die homogene Gleichung zu lösen ist ja einfach, aber eine spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung zu finden nicht mehr so wirklich.
Ich habs mit y(x):=a(x)*sin(x) probiert:
[mm] sin^{2}(x)*a''+sin(2*x)*a'-1=0
[/mm]
Gehe ich an die Sache total falsch heran oder kann man hierfür einfach ne Lösung finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
> [mm]y''+y=\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
> Tipp: Verwenden Sie für eine spezielle Lösung der
> inhomogenen Gleichung Variation der Konstanten.
> Die homogene Gleichung zu lösen ist ja einfach,
Ja wie schauen denn die Lösungen aus ??
> aber eine
> spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung zu finden
> nicht mehr so wirklich.
Weil Du nicht das tust, was man Dir sagt ! Was machst Du mit dem Tipp ?
>
> Ich habs mit y(x):=a(x)*sin(x) probiert:
Entweder Du kannst die allg. Lösung der homogenen Gl. doch nicht bestimmen oder Du hast den Tipp in die Mülltonne getreten
FRED
> [mm]sin^{2}(x)*a''+sin(2*x)*a'-1=0[/mm]
> Gehe ich an die Sache total falsch heran oder kann man
> hierfür einfach ne Lösung finden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Mi 09.12.2009 | | Autor: | valoo |
Muss man etwa die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung verwenden? Das wusste ich nicht.
Aber selbst wenn ich
y(t):=a(t)*sin(x)+b(t)*cos(x) setze, komm ich zu keiner Lösung.
y'(x)=(a(x)+b'(x))*cos(x)+(a'(x)-b(x))*sin(x)
y''(x)=(2*a'(x)-b(x)+b''(x))*cos(x)+(-a(x)+a''(x)-2*b'(x))*sin(x)
DGL:
[mm] (b''(x)+2*a'(x))*cos(x)+(a''(x)-2*b'(x))*sin(x)=\bruch{1}{sin(x)}
[/mm]
Was mir dazu nur einfällt ist die Beziehung [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 [/mm] (*)
Also:
(I) a''(x)-2*b'(x)=1
(II) [mm] b''(x)+2*a'(x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
Kann ich hiervon ausgehend irgendwie eine Lösung finden? Ich hab schon einiges ausprobiert, z. B. bei (I) wieder (*), was dann aber bei (II) falsch ist, oder bei (II) b''(x)=0, was aber auch nicht klappt.
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Hallo valoo,
> Muss man etwa die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung verwenden? Das wusste ich nicht.
> Aber selbst wenn ich
> y(t):=a(t)*sin(x)+b(t)*cos(x) setze, komm ich zu keiner
> Lösung.
> y'(x)=(a(x)+b'(x))*cos(x)+(a'(x)-b(x))*sin(x)
>
> y''(x)=(2*a'(x)-b(x)+b''(x))*cos(x)+(-a(x)+a''(x)-2*b'(x))*sin(x)
>
> DGL:
>
> [mm](b''(x)+2*a'(x))*cos(x)+(a''(x)-2*b'(x))*sin(x)=\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
> Was mir dazu nur einfällt ist die Beziehung
> [mm]sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1[/mm] (*)
> Also:
> (I) a''(x)-2*b'(x)=1
> (II) [mm]b''(x)+2*a'(x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> Kann ich hiervon ausgehend irgendwie eine Lösung finden?
> Ich hab schon einiges ausprobiert, z. B. bei (I) wieder
> (*), was dann aber bei (II) falsch ist, oder bei (II)
> b''(x)=0, was aber auch nicht klappt.
Hier muß an die Funktionen [mm]a\left(t\right)[/mm] und [mm]b\left(t\right)[/mm]
noch eine Bedingung gestellt werden:
[mm]a'\left(t\right)*\sin\left(t\right)+b'\left(t\right)*\cos\left(t\right)=0[/mm]
Diese Bedingung kommt daher, wenn die DGL 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung umgewandelt wird.
Gruss
MathePower
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