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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Spezielle Vollrang Zerlegung
Spezielle Vollrang Zerlegung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Spezielle Vollrang Zerlegung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 So 06.12.2015
Autor: HeisenPhil

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo liebe Leute,

ich schlage mich schon seit geraumer Zeit mit einem Problem herum.
Es geht um eine spezielle Vollrang Zerlegung einer positiv definiten hermiteschen Matrix Z, sodass gilt:

Z = [mm] \vektor{U \\ V}*\pmat{ U^\* & V^\*}. [/mm]

Ich habe auch schon selbst ein wenig herum probiert, komme aber zu keinem vernünftigem Ergebnis. Ich Ende immer damit ein LGS zu lösen, dass mir vorschreibt wie ich die Elemente von Z zu wählen habe, damit obige Gleichung gilt. Ich hätte es aber gerne anders herum: Ich habe ein Z gegeben, dass wiegesagt, eine hermitesche positive definite Matrix ist und ich möchte U und V bestimmen.
Jemand eine Idee oder passende (freizugängliche) Quelle für mich?

LG



        
Bezug
Spezielle Vollrang Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 Mo 07.12.2015
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo liebe Leute,
>  
> ich schlage mich schon seit geraumer Zeit mit einem Problem
> herum.
>  Es geht um eine spezielle Vollrang Zerlegung einer positiv
> definiten hermiteschen Matrix Z, sodass gilt:
>
> Z = [mm]\vektor{U \\ V}*\pmat{ U^\* & V^\*}.[/mm]
>  
> Ich habe auch schon selbst ein wenig herum probiert, komme
> aber zu keinem vernünftigem Ergebnis. Ich Ende immer damit
> ein LGS zu lösen, dass mir vorschreibt wie ich die
> Elemente von Z zu wählen habe, damit obige Gleichung gilt.


Das deutet doch darauf hin, dass eine solche Zerlegung nicht für jede positiv definite hermitesche Matrix Z möglich ist.

Das ist auch so: nimm

    [mm] Z=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm]

Wäre für dieses Z eine solche Zerlegung möglich, so gäbe es Zahlen u,v [mm] \in \IC [/mm] mit

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }= [/mm] $ [mm] \vektor{u \\ }\cdot{}\pmat{ \overline{u} & \overline{u}}=\pmat{ |u|^2 & u \overline{v} \\ \overline{u}v & |v|^2 }$. [/mm]

Dann wäre aber u=0 oder v=0, was absurd ist.





> Ich hätte es aber gerne anders herum: Ich habe ein Z
> gegeben, dass wiegesagt, eine hermitesche positive definite
> Matrix ist und ich möchte U und V bestimmen.
>  Jemand eine Idee oder passende (freizugängliche) Quelle
> für mich?

Wenn Deine Matrix Z eine ganz spezielle Matrix ist, so verrate sie uns. Dann können wir weitersehen.

FRED

>
> LG
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Spezielle Vollrang Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Mo 07.12.2015
Autor: HeisenPhil

Hallo Fred,

das stimmt, das Ergebnis ist absurd, das liegt aber auch daran das du schon falsch gestartet bist ;) Ist mir auch passiert!

> Das ist auch so: nimm
>  
> [mm]Z=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>  
> Wäre für dieses Z eine solche Zerlegung möglich, so
> gäbe es Zahlen u,v [mm]\in \IC[/mm] mit
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=[/mm]  [mm]\vektor{u \\ }\cdot{}\pmat{ \overline{u} & \overline{u}}=\pmat{ |u|^2 & u \overline{v} \\ \overline{u}v & |v|^2 }[/mm].
>  
> Dann wäre aber u=0 oder v=0, was absurd ist.



Vollrang-Zerlegung bedeutet, dass [mm] \vektor{U \\ V} [/mm] und [mm] \pmat{ U^{\*} & V^{\*} } [/mm] denselben Rang haben müssen wie Z.
In deinem Ansatz ist das schon gar nicht möglich, weil die Einheitsmatrix den Rang 2 hat, [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] in deinem Beispiel aber nur Rang 1.

Du musst den Ansatz wählen:

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 }*\pmat{ \overline{u}_1 & \overline{v}_1 \\\overline{u}_2 & \overline{v}_2 } [/mm]

Wenn du das LGS löst, kommst du sofort auf die triviale Lösung, dass
[mm] \pmat{ u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 } [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 } [/mm]
sein muss und du damit die Einheitsmatrix wieder in zwei Einheitsmatrizen faktorisierst!

Hatte das auch nicht bedacht, von daher werde ich jetzt einfach einen Algortihmus schreiben, der mir das rekursiv für Matrizen beliebiger Ordngung löst! ;)

Trotzdem danke! Ich hatte am Anfang den gleichen Fehler gemacht, hoffe ich konnte dir damit auch helfen, auch wenn ich eigentlich mit dem Problem gestartet bin!

LG,
Phil


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